8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

8.2.2　两角和与差的正弦、正切 第1课时　两角和与差的正弦 　　类比在生活中随处可见,可以推动创新。由诱导公式及两角和与差的余弦公式如何推导两角和与差的正弦公式? 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式。 2.会用两角和与差的正弦进行简单的三角函数的求值,化简。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P050 　 知识点一、两角和与差的正弦公式 　　1.两角和的正弦公式 (1)公式:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β。  (2)简记:Sα+β。 2.两角差的正弦公式 (1)公式:sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β。  (2)简记:Sα-β。 3.两角和与差的正弦公式结构特征 (1)α,β可以是单个角,也可以是两个角的和或差,在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体。 (2)记忆口诀:异名同号。 知识点二、辅助角公式 　　asin x+bcos x=sin(x+φ)。 其中,cos φ=,sin φ=。 微提醒 　　常见辅助角结论 (1)sin x±cos x=sin; (2)sin x±cos x=2sin; (3)cos x±sin x=cos; (4)cos x±sin x=2cos。 微思考　和(差)角公式中α,β都是任意角,如果α为特殊角,你能从和(差)角公式推导出诱导公式吗? 提示:任举一例,推导sin+α=cos α。sin+α=sincos α+cossin α=1·cos α+0·sin α=cos α。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P051 　 类型一 给角求值 　　【例1】　化简求值: (1)sin 165°; (2); (3)sin 65°sin 125°+cos 115°sin 35°。 解　(1)sin 165°=sin(120°+45°) =sin 120°cos 45°+cos 120°sin 45° =×-×=。 (2) = = = =sin 30°=。 (3)sin 65°sin 125°+cos 115°sin 35° =sin 65°·sin(90°+35°)+cos(180°-65°)sin 35° =sin 65°cos 35°-cos 65°sin 35° =sin(65°-35°)=sin 30°=。 　　解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行局部的变形。 (2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,解题时要逆用或变用公式 【变式训练】　化简求值: (1)sin(α-30°)+sin(α+30°); (2)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x)。 解　(1)sin(α-30°)+sin(α+30°)=sin αcos 30°-cos αsin 30°+sin αcos 30°+cos αsin 30°=2sin αcos 30°=sin α。 (2)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x)=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin 90°=1。 类型二 给值(式)求值 　　【例2】　设α∈,π,β∈,2π,若cos α=-,sin β=-,求sin(α+β)的值。 解　因为α∈,π,cos α=-,所以sin α=,因为β∈,2π,sin β=-,所以cos β=。所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+-×-=。 　　给值求值的解题策略 已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,利用两角和与差的公式展开运算 【变式训练】　若例2条件不变,试求sin(α-β)+cos(α-β)的值。 解　sin(α-β)+cos(α-β)=sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=×--×-+-×+×-=---=-1。 类型三 辅助角公式的应用 　　【例3】　已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x,x∈R。 (1)求f(x)的最小正周期与值域。 (2)求f(x)的单调递增区间。 解　(1)f(x)=-sin 2x+cos 2x =-2 =-2 =-2sin,x∈R。 所以T==π,函数的值域为[-2,2]。 (2)由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z。 所以函数的单调递增区间为(k∈Z)。 　　(1)f(x)=asin ωx+bcos ωx通过辅助角公式