8.2.1 两角和与差的余弦-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

8.2　三角恒等变换 8.2.1　两角和与差的余弦 　　大家知道川剧中的“变脸”表演吗?相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽, 为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态。人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术,神奇的表演让观众叹为观止。在三角函数中也有这样的“表演者”,利用它的变换可以解决许多三角变换问题。 经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角和与差的余弦公式的意义。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P048 　 知识点、两角和与差的余弦公式 　　1.两角和的余弦公式 (1)公式:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β。  (2)简记:Cα+β。 2.两角差的余弦公式 (1)公式:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β。  (2)简记:Cα-β。 微提醒 　　两角和与差的余弦公式特征 (1)使用范围:α,β为任意角,可以是一个角,也可以是角的组合。 (2)记忆口诀:同名异号。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P048 　 类型一 给角求值 　　【例1】　求下列各式的值: (1)cos; (2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°); (3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α)。 解　(1)cos=cosπ+ =-cos=-cos- =-cos-=-coscos+sinsin =-×+×=-。 (2)原式=-sin 100°sin 160°+cos 200°cos 280° =-sin 80°sin 20°-cos 20°cos 80° =-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°) =-cos 60°=-。 (3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α)=cos[(α+20°)+(40°-α)]=cos 60°=。 　　应用两角和与差的余弦公式Cα+β,Cα-β解决给角求值问题的方法: (1)正用公式应记住特点:同名相乘,符号相反; (2)逆用公式时应准确找出式子与公式右端的异同,可借助诱导公式或提取负号把形式统一到两角和与差的余弦公式的展开式形式; (3)把一个具体的角构造成两个角的和或差的形式,有很多构造方法,要灵活应用 【变式训练】　求下列各式的值: (1)cos 15°-cos 75°; (2)sin 70°cos 25°-sin 20°sin 25°; (3)cos 15°-sin 15°。 解　(1)cos 15°-cos 75° =cos(60°-45°)-cos(45°+30°) =×+×-×+×=。 (2)sin 70°cos 25°-sin 20°sin 25° =cos 20°cos 25°-sin 20°sin 25° =cos(20°+25°)=。 (3)cos 15°-sin 15° =cos 60°cos 15°-sin 60°sin 15° =cos 75°=cos(45°+30°) =×-×=。 类型二 给值(式)求值 　　【例2】　已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈0,,求cos β的值。 解　因为α,β∈0,,所以α+β∈(0,π)。 又因为cos α=,cos(α+β)=-, 所以sin α==, sin(α+β)==。 又因为β=(α+β)-α, 所以cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =-×+×=。 　　解答给值(式)求值问题的两个主要技巧 (1)已知角的某一三角函数值,求该角的另一三角函数值时,应注意角的终边所在的象限,从而确定三角函数值的正负。 (2)注意变角,合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明。常见的角的变换方式:α=(α+β)-β=β-(β-α)=[(α+β)+(α-β)]=[(α+β)-(β-α)],2α=(α+β)+(α-β)=(α+β)-(β-α),4α=2·2α,α=2·,α+2β=(α+β)+β等 【变式训练】　已知cos α=-,其中<α<π,求cos,cos。 解　因为cos α=-且<α<π, 所以sin α==。 因此cos=coscos α+sinsin α =×+× =, cos=coscos α-sinsin α =×-×=-。 类型三 给值求角 　　【例3】　已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值。 解　由cos α=,0<α<,得sin α===。由0<β<α<,得0<α-β<。又因为cos(α-β)=,所以sin(α-