8.1.3 向量数量积的坐标运算-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

8.1.3　向量数量积的坐标运算 　　 如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示,它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而可以使几何问题数量化,把“定性”研究推向“定量”研究。 1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角。 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P046 　 知识点一、向量的坐标与向量的数量积 　　设a=(x1,y1),b=(x2,y2)。 (1)数量积a·b=x1x2+y1y2。 (2)若a,b为非零向量,则 ①|a|2=+,|b|2=+。 ②cos <a,b>=。 (3)在平面直角坐标系中,A(x1,y1),B(x2,y2), 则||=。 知识点二、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 　　非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)。a⊥b⇔x1x2+y1y2=0。 微提醒 　　垂直向量与平行向量的坐标关系 (1)若a⊥b(a=(a1,a2),b=(b1,b2)),则向量(a1,a2)与(-b2,b1)平行,这是因为a⊥b,有a1b1+a2b2=0,当b1b2≠0,有==k(k为比例系数)。 (2)对于任意实数k,向量k(-b2,b1)与向量(b1,b2)垂直。 微思考　你能用向量法推导两点间距离公式||=吗? 提示:=(x2-x1,y2-y1),所以·==||2=(x2-x1)2+(y2-y1)2,即||=。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P046 　 类型一 数量积的坐标运算 　　【例1】　已知向量a=(3,-1),b=(1,-2)。 (1)求(a+b)2; (2)求(a+b)·(a-b)。 解　(1)因为a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3), 所以(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25。 (2)解法一:因为a=(3,-1),b=(1,-2), 所以a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5, 所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5。 解法二:因为a=(3,-1),b=(1,-2), 所以a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3), a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1), 所以(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5。 　　数量积坐标运算的技巧 利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解 【变式训练】　(1)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)等于 (　　) A.10　　　B.-10 C.3　　　D.-3 解析　a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10。故选B。 答案　B (2)已知a=(2,-1),a+2b=(6,3),若b·c=14,a·c=2,则向量c的坐标为　　　　。  解析　令b=(x1,y1),则a+2b=(2x1+2,2y1-1)=(6,3),所以2x1+2=6,2y1-1=3,解得x1=2,y1=2,所以b=(2,2),令c=(x2,y2),则解得x2=3,y2=4,所以c=(3,4)。 答案　(3,4) 类型二 平面向量的模和夹角 　　【例2】　 平面直角坐标系xOy中,O是原点(如图)。已知点A(16,12),B(-5,15)。 (1)求||,||; (2)求∠OAB。 解　(1)由=(16,12), =(-5-16,15-12)=(-21,3), 得||==20, ||==15。 (2)cos∠OAB=cos<,>=。 其中·=-· =-(16,12)·(-21,3) =-[16×(-21)+12×3]=300。 故cos∠OAB==。 因为∠OAB∈(0°,180°),所以∠OAB=45°。 　　(1)若向量a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=。 (2)由三角函数值cos θ=,求角θ时,应注意角θ的取值范围是[0,π] 【变式训练】　已知向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c,求b,c及b与c的夹角。 解　a=(3,-4),b=(2,x),a∥b⇔3x=2×(-4),解得x=-。c=(2,y),a⊥c⇔3×2-4y=0,解得y=,所以b=2,-,c=2,,所以b·c=2×2-×=0,所以<b,c>=90°。 类型三 向量数量积的综合运用 　　【例3】