8.1.2 向量数量积的运算律-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

8.1.2　向量数量积的运算律 　　没有规矩不成方圆,国家法律保障每个公民的权利不受侵害,校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见,世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存。初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律,那么向量的数量积又满足哪些运算律呢? 1.掌握向量数量积的运算律及常用的公式。 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P044 　 知识点、向量数量积的运算律 　　已知向量a,b,c与实数λ,则 交换律 a·b=b·a 结合律 (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b) 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 微提醒 　　(1)对实数a,b,c(a≠0),有ab=ac⇒b=c。 对向量a,b,c(a≠0),有a·b=a·cb=c。 (2)实数意义下的平方公式仍然适合向量。如(a+b)·(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2a·b+b2。但立方公式不适用。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P044 　 类型一 向量数量积的运算 　　【例1】　(1)已知|a|=4,|b|=7,且向量a与b的夹角为120°,求(2a+3b)·(3a-2b)。 解　(2a+3b)·(3a-2b) =6a2-4a·b+9b·a-6b2 =6|a|2+5a·b-6|b|2 =6×42+5×4×7×cos 120°-6×72 =-268。 (2)在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E是CD的中点,求·的值。 解　·=+·(-)=--·=1-×4-×2×1×=-。 　　两种常见的求向量数量积的题型 (1)类似向量线性运算之后再求数量积的题型,只需按照向量运算律展开即可求解。 (2)在平面图形中求两向量的数量积,一般先找好基底,用基底表示所求向量,再进行基底之间的运算即可求解 【变式训练】　已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求: (1)e1·e2; (2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2); (3)(e1+e2)2。 解　(1)e1·e2=|e1||e2|cos 60°=。 (2)由(1)可知e1·e2=,|e1|=|e2|=1, 所以(2e1-e2)·(-3e1+2e2) =-6+3e2·e1+4e1·e2-2 =-6|e1|2+3×+4×-2|e2|2 =-6+-2=-。 (3)(e1+e2)2=(e1+e2)·(e1+e2) =+e1·e2+e2·e1+ =+2e1·e2+=1+1+1=3。 类型二 求向量的模 　　【例2】　已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求|a+b|和|a-b|的值。 解　由题意得a·b=|a||b|cos 120°=2×3×=-3, 所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=22+32+2×(-3)=7, 所以|a+b|=。 所以|a-b|= ==。 　　利用向量的数量积求向量的模的问题是向量数量积的重要应用,解决此类问题的方法是对向量进行平方,即利用公式a·a=a2=|a|2及其拓展公式(a±b)2=a2±2a·b+b2=|a|2±2a·b+|b|2,从而将向量转化为实数 【变式训练】　已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为60°,|ka-2b|=13,求实数k的值。 解　因为|a|=3,|b|=4,<a,b>=60°, 所以a·b=|a||b|cos 60°=3×4×=6。 |ka-2b|2=k2a2-4ka·b+4b2=132, 即9k2-24k+64=169, 所以9k2-24k-105=0, 解得k=5或k=-, 所以实数k的值为5或-。 类型三 向量在几何中的应用 　　【例3】　 已知△ABC三边长分别为a,b,c,以A为圆心,r为半径作圆,如图所示,PQ为直径,试判断P,Q在什么位置时,·有最大值? 解　因为=-, =-=--=--, 所以·=(-)·(--) =-·+·-+· =·-r2+·(-) =·-r2+· =||||cos∠BAC-r2+· =bccos∠BAC-r2+·。 当与同向时,·最大且最大值为||·||=ra,即当与共线且方向相同时,·有最大值。 　　向量数量积在平面几何应用中的解题策略 (1)利用运算律结合图形先化简再运算。 (2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补) 【变式训练】　设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M,N满足=3,=2,则·= (　　) A.20 B.15 C.9 D.6 解析　如图所示,由题设知,=+=+,=-,所以·=·=||2-||2+·-·=×36