8.1.1 向量数量积的概念-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1　向量的数量积 8.1.1　向量数量积的概念 　　如图所示,一物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W=|F||s|cos α(α为F与s的夹角)。类比功的定义,你能给出非零向量a与b数量积的定义吗? 1.通过物理中的功等实例,理解向量数量积的定义及其物理意义,会计算两个向量的数量积。 2.通过几何直观了解投影向量的概念以及投影向量的几何意义。 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P041 　 知识点一、两个向量的夹角 定义 给定两个非零向量a,b,在平面内任选一点O,作=a,=b,则称[0,π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角,记作<a,b> 范围 0≤<a,b>≤π 垂直 当<a,b>=时,称向量a与向量b垂直,记作a⊥b 规定 零向量与任意向量垂直 知识点二、向量数量积的定义及性质 　　1.定义 一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|cos <a,b>为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>。  2.性质 (1)如果a,b都是非零向量,则有|a·b|≤|a||b|; (2)a·a=|a|2,即|a|=; (3)向量a,b都是非零向量,a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0,即a⊥b⇔a·b=0; (4)cos <a,b>=(|a||b|≠0)。 知识点三、向量的投影与向量数量积的几何意义 　　1.投影向量(投影) 如图所示,设非零向量=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A',B',则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影。 2.投影的数量 一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos <a,b>为向量a在向量b上的投影的数量。  3.两个向量数量积的几何意义 因为a·b=|a||b|cos <a,b>=(|a|cos <a,b>)|b|,所以两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积。 特别地,当e为单位向量时,因为|e|=1,所以a·e=|a|cos <a,e>,即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量。 微提醒 　　(1)两个向量的夹角θ的范围是0≤θ≤π。θ=0时,两个向量同向,θ=π时,两个向量反向。 (2)两个向量的数量积,其结果是一个实数,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值决定。 (3)向量a,b的数量积只能表示为a·b,不能表示为a×b或ab。 (4)非零向量a与向量b垂直,则a·b=0,反之也成立。 微思考　向量a在向量b上的投影的数量与向量b在向量a上的投影的数量是否相同?为什么? 提示:不一定相同。a在b上的投影的数量为|a|cos <a,b>,而b在a上的投影的数量为|b|cos <a,b>,只有当|a|=|b|或cos<a,b>=0时两者相同,所以这两者不一定相同。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P042 　 类型一 与数量积有关命题的判断 　　【例1】　(多选)已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中是真命题的为 (　　) A.|a·b|=|a||b|⇔a∥b B.a,b反向⇔a·b=-|a||b| C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b| D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c| 解析　A中因为a·b=|a||b|cos<a,b>,所以由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos<a,b>|=1,所以<a,b>=0或<a,b>=π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故命题A是真命题;B中若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a||b|cos π=-|a||b|,且以上各步均可逆,故命题B是真命题;C中当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|,反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b,因此命题C是真命题;D中当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|,故命题D是假命题。 答案　ABC 　　两向量方向相同时,夹角为0(或0°);方向相反时,夹角为π(或180°);两向量垂直时,夹角为(或90°)。因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来,若两向量的夹角为0或π,则两向量共线 【变式训练】　(多选)以下四种说法中正确的是 (　　) A.如果a·b=0,则<a,b>=90