7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

7.4　数学建模活动:周期现象的描述 　　 交变电流示意图 如图是交变电流产生的示意图。线圈在匀强磁场中按逆时针方向匀速旋转产生交变电流(电刷及回路等部分省略),当线圈处于如图所示的位置时,线圈中的感应电流y达到最大值A;当线圈由此位置逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时,线圈中的感应电流y为0;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时,线圈中的感应电流y达到反向最大值-A;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达垂直位置时,线圈中的感应电流y又一次为0;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达图示位置时,线圈中的感应电流y又一次达到最大值A。这样周而复始,形成周期变化。交变电流的电流强度可以用y=Asin(ωx+φ)模型刻画。 1.会用三角函数解决简单的实际问题。 2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P037 　 知识点一、三角函数模型的作用 　　三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画变化规律、预测其未来等方面发挥着重要作用。 知识点二、三角函数模型的建立程序 微提醒 　　函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义 微思考　用三角函数解决实际问题时,要注意什么? 提示:(1)自变量的取值范围; (2)数形结合思想的运用; (3)认真审题,进行联想,选择适当的三角函数模型; (4)涉及较复杂的数据时,计算要精确。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P037 　 类型一 三角函数在物理中的应用 　　【例1】　已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ)。 (1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)ω>0,|φ|<在一个周期内的图像,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式; (2)如果t在任意一段的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少? 解　(1)由题图可知A=300, 设t1=-,t2=, 则周期T=2(t2-t1)=2+=。 所以ω==150π。 又当t=时,I=0, 即sin150π·+φ=0, 而|φ|<,所以φ=。 故所求的解析式为I=300sin150πt+。 (2)依题意知,周期T≤, 即≤(ω>0), 所以ω≥300π>942,又ω∈N+, 故所求最小正整数ω=943。 　　(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性。 (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题 【变式训练】　 如图所示为一简谐运动的图像,则下列判断正确的是 (　　) A.该质点的振动周期为0.7 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时的速度为零 解析　振动周期为2×(0.7-0.3)=0.8 s,故A错误,该质点的振幅是5 cm,故B对;该质点在0.1 s,0.5 s时速度为0,在0.3 s,0.7 s时速度最大。 答案　B 类型二 三角函数模型的简单实际应用 　　【例2】　已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16]。 (1)求该地区这一段时间内的最大温差。 (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多长时间? 解　(1)x∈[4,16],则x-∈。 由函数解析式易知,当x-=,即x=14时,函数取最大值,最大值为30,即最高温度为30 ℃, 当x-=-,即x=6时,函数取最小值,最小值为10,即最低温度为10 ℃,所以最大温差为30-10=20(℃)。 (2)令10sin+20=15,可得sin=-,而x∈[4,16],所以x=,令10sin+20=25,可得sin=,而x∈[4,16],所以x=。 故该细菌在这段时间内能存活-=(时)。 　　(1)一般明确地指出了周期现象满足的变化规律,例如,周期现象可用形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的函数来刻画,只需根据已知条件确定参数求解函数解析式,再将题目涉及的具体的值代入计算即可。 (2)三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理意义的考查 【变式训练】　 如图,某市某天从6 h到14 h的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,0<φ<π)。则这段曲线的函数解析式为　　　　。  解析　由图像可知解得由图像得函数的周期T=2×(14-6)=16,则=16,解得ω=。所以y=5sin-7。由图像