7.3.3 余弦函数的性质与图像-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

7.3.3　余弦函数的性质与图像 　　过山车是一项具有刺激性的娱乐工具。它的运动包含了许多物理学原理。如果能 亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果,那感觉真是妙不可言。一个基本的过山车构造中,包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转),几个循环路径。余弦函数也像过山车一样“爬升”“滑落”,这是它的哪些性质?我们本节就要学习相关知识。 1.能运用“图像变换法”作出y=cos x和y=Acos(ωx+φ)的图像。 2.理解余弦函数的性质。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P028 　 知识点一、余弦函数的概念及性质 　　1.余弦函数的概念 对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cos x与之对应,所以y=cos x是一个函数,一般称为余弦函数,其图像称为余弦曲线。 2.余弦函数的性质 函数 y=cos x 定义域 R 值域 [-1,1] 最值 当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1; 当x=(2k+1)π(k∈Z)时,ymin=-1 周期性 最小正周期为2π 奇偶性 偶函数,图像关于y轴对称 单调性 当x∈[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)时,单调递增; 当x∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)时,单调递减 对称性 对称中心为,k∈Z; 对称轴为x=kπ,k∈Z 零点 +kπ(k∈Z) 知识点二、余弦函数图像的画法 　　1.平移法 (1)原理:cos x=sin。 (2)方法:y=sin x的图像(x∈R)向左平移个单位得到y=cos x的图像(x∈R)。 2.五点法 (1)五个关键点:在[0,2π]上图像有两个最高点,一个最低点,图像与x轴有两个交点。 (2)函数y=cos x,x∈[0,2π]的简图: 微提醒 　　余弦型函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质可类比余弦函数y=cos x得到。当ω的符号不确定时,最小正周期T=。 微思考　利用平移法作余弦函数图像的依据是什么?为什么不能利用sin-x=cos x来确定平移的方向和单位长度? 提示:平移法作余弦函数图像主要依据诱导公式⑥:sinx+=cos x。显然在诱导公式⑤:sin-x=cos x中,两个函数的解析式中自变量的系数符号相反,所以不能利用该公式确定平移方向和单位长度。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P029 　 类型一 余弦函数的图像 　　【例1】　用两种方法作出函数y=3+2cos x在长度为一个周期的闭区间上的图像。 解　解法一:函数y=3+2cos x的周期T=2π,列表、描点得函数y=3+2cos x在长度为一个周期的闭区间上的图像(如图所示)。 x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 y=3+2cos x 5 3 1 3 5 解法二:先利用五点法作出函数y=cos x,x∈[0,2π]的图像,如图虚线所示,然后将所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),再把所得图像向上平移3个单位就得到函数y=3+2cos x,x∈[0,2π]的图像,如图实线所示。 　　(1)五点法作图时,y=Acos(ωx+φ)中ωx+φ的取值为0,,π,π,2π。 (2)在变换时要注意两点:一是平移变换的规则,“左加右减”“上加下减”;二是对于先伸缩后平移变换中,要注意由y1=cos ωx(ω≠0)的图像得到y2=cos(ωx+φ)的图像时,因为y2=cos,所以应该将y1=cos ωx的图像向左>0或向右<0平移个单位,而不是平移|φ|个单位 【变式训练】　用五点法作出函数y=cos,x∈的简图。 解　 μ=x+ 0 π 2π x - y=cos μ 1 0 -1 0 1 　　描点作图(如图)。 类型二 余弦函数的周期性、奇偶性、对称性 　　【例2】　已知函数y=2cos2x+。 (1)求该函数的最小正周期; (2)在该函数的对称轴中,求与y轴距离最近的那条对称轴的方程; (3)把该函数的图像向右平移φ个单位后,图像关于原点对称,求φ的最小正值。 解　(1)因为T===π, 所以最小正周期为π。 (2)令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z。 令k=0,x=-;令k=1,x=。 所以函数y=2cos2x+的对称轴中与y轴最近的一条对称轴的方程是x=。 (3)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y=f(x), 则f(x)=2cos2(x-φ)+=2cos2x+-2φ。 因为y=f(x)的图像关于原点(0,0)对称, 所以f(0)=2cos-2φ=0。 所以-2φ=kπ+,k∈Z。 解得φ=-,k∈Z。