7.3.2 正弦型函数的性质与图像-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

7.3.2　正弦型函数的性质与图像 　　 游客在游乐场的摩天轮上可以俯瞰整个城市的风光,摩天轮承载着游客从底部匀速旋转到最高点,游客距离地面的高度y与时间x之间的函数解析式为y=Asin(ωx+φ)+b,我们本节课就研究此类函数。 1.会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期、频率及振幅。 2.借助正弦型函数图像理解相关性质。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P025 　 知识点一、正弦型函数的概念 　　一般地,形如y=Asin(ωx+φ)的函数称为正弦型函数,其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0。 知识点二、函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的性质 　　1.定义域:R 2.值域:[-|A|,|A|] 3.周期性 周期函数,最小正周期T=。 4.奇偶性 “定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的前提,在满足这一前提的条件下,对于y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0), 当φ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)是奇函数; 当φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)是偶函数; 当φ≠(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)是非奇非偶函数。 5.单调性 确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的基本思想是把ωx+φ看作一个整体。由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解出x的范围,可得单调递增区间;由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解出x的范围,可得单调递减区间。 6.零点 ,k∈Z。 知识点三、函数y=Asin(ωx+φ)的图像 　　函数y=sin x的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤。函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像可以由y=sin x的图像通过相位变换→周期变换→振幅变换或周期变换→相位变换→振幅变换得到,具体变换方法如下所示。 知识点四、函数y=Asin(ωx+φ),A≠0,ω≠0中参数的物理意义 微提醒 　　对函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)中参数的物理意义的四点说明 (1)|A|越大,函数图像的最大值就越大,最大值与振幅|A|是正比例关系。 (2)|ω|越大,函数图像的周期越小,|ω|越小,周期越大,周期与|ω|为反比例关系。 (3)f==,频率与周期是反比例关系。 (4)φ大于0时,函数图像向左平移,φ小于0时,函数图像向右平移,即“加左减右”。 微思考　函数y=Asin(ωx+φ)中,A>0,ω<0,其单调性如何确定? 提示:若函数y=Asin(ωx+φ)中A>0,ω<0,则可用诱导公式将函数变为y=-Asin(-ωx-φ),则当2kπ-≤-ωx-φ≤2kπ+(k∈Z)时,函数y=-Asin(-ωx-φ)单调递减;当2kπ+≤-ωx-φ≤2kπ+(k∈Z)时,函数y=-Asin(-ωx-φ)单调递增。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P026 　 类型一 正弦型函数的图像 　　命题方向1:五点法作图 　　【例1】　用五点法作出函数y=3sin的图像。 解　设X=3x+, 则y=3sin=3sin X, 当X取0,,π,,2π时,由x==-,得x取-,,,,, 列表如下: 3x+ 0 π 2π x - 3sin 0 3 0 -3 0 　　描点作图,先作出函数y=3sin,x∈的图像,如图,然后将其向左、向右扩展,就得到了函数y=3sin3x+的图像。 　　本例采用五点法作图,要注意,不是x取0,,π,,2π这五个值,而是X=3x+取这五个值 【变式训练】　已知函数f(x)=2sin+1, (1)用五点法作出该函数的图像。 (2)写出该函数的定义域,值域及最小正周期。 解　(1)列表,描点,连线 2x+ 0 π 2π x - y 1 3 1 -1 1 (2)由图像可知,定义域为R,最大值为3,最小值为-1,所以值域为[-1,3],最小正周期T=π。 　　命题方向2:图像的变换 　　【例2】　说明y=-2sin+1是由y=sin x的图像怎样变换而来的? 解　变换过程可以先伸缩后平移,也可先平移后伸缩。 方法一(先伸缩后平移): y=sin x y=-2sin x y=-2sin 2x y=-2sin y=-2sin+1。 方法二(先平移后伸缩): y=sin x y=-2sin x y=-2sin y=-2sin y=-2sin+1。 　　平移(左右平移)变换遵循“左加右减”的规则,但是要注意平移量是指自变量x的变化量,而不是“ωx”的变化量 【变式训练】　将