7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 　　欧拉是明确提出弧度制思想的数学家。1748年,在他的一部划时代著作《无穷分析引论》中,提出把圆的半径作为弧长的度量单位,使一个圆周角等于2π弧度,1弧度等于周角的。这一思想将线段与弧的度量统一起来,大大简化了三角公式及计算。 1.了解弧度制的概念。 2.能进行弧度与角度的互化。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P005 　 知识点一、角度制与弧度制 　　1.角度制 把圆周等分成360份,其中每一份所对应的圆心角是1度,这种用度作单位来度量角的制度称为角度制。角度制还规定1度等于60分,1分等于60秒,即1°=60',1'=60″。 2.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad。如图所示,因为的长等于半径r,所以所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角。这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制。 3.弧度数 由弧度制的定义可知,在半径为r的圆中,若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,则α=。弧度的大小与所在圆的半径的大小无关,只与圆心角的大小有关。 知识点二、弧度与角度的互化 　　设一个角的角度数为n,弧度数为α,则=。 弧度 角度 2π rad=360° π rad=180° 1 rad=°≈57.3° 弧度数×°=度数 360°=2π rad 180°=πrad 1°=rad 度数×=弧度数 知识点三、弧长公式与扇形面积公式 　　设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l= l=αr 扇形的面积 S= S=lr=αr2 微提醒 　　(1)在应用公式l=αr和S=lr=αr2时,要注意α的单位是弧度。 (2)在运用公式时,根据已知的是角度数还是弧度数,选择合适的公式代入。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P005 　 类型一 弧度制的概念 　　【例1】　下列说法正确的是 (　　) A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,弧度是角的一种度量单位 解析　根据弧度制的定义,我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角,对照各选项,可知D正确。 答案　D 　　1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,而1°的角是周角的;1弧度的角与1度的角所指含义不同,大小更不同 【变式训练】　在半径为144 mm的圆上,弧长为12 mm的弧所对的圆心角的弧度数为　　　　。  解析　由题意可得l=12 mm,r=144 mm,所以圆心角θ=== rad。 答案　 类型二 角度与弧度的互化 　　命题方向1:角度与弧度的互化 　　【例2】　(1)①将112°30'化为弧度为　　　　。  ②将-rad化为角度为　　　　。  解析　①因为1°= rad,所以112°30'=×112.5 rad=rad。②因为1 rad=°,所以- rad=-×°=-75°。 答案　① rad　②-75° (2)已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=,试比较α,β,γ,θ,φ的大小。 解　解法一(化为弧度): α=15°=15×=,θ=105°=105×=。 显然<<1<。 故α<β<γ<θ=φ。 解法二(化为角度): β==×°=18°,γ=1≈57.30°, φ=×°=105°。 显然,15°<18°<57.30°<105°。 故α<β<γ<θ=φ。 　　在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式180°=π是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×°=度数 【变式训练】　把下列角度化成弧度或弧度化成角度。 (1)72°;(2)-300°;(3)2;(4)-。 解　(1)72°=72×=。 (2)-300°=-300×=-。 (3)2=2×°=°。 (4)-=-×°=-40°。 　　命题方向2:用弧度数表示角 　　【例3】　(1)将-1 485°表示成2kπ+α,k∈Z的形式,且0≤α<2π。 解　设α=n°。因为-1 485°=-5×360°+315°,=,所以=。所以α=π。 所以-1 485°=-10π+π。 (2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分的角的集合。 解　330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为弧度,即-,而75°=,所以终边落在阴影部分的角的集合为α2kπ-<α<2kπ+,k∈Z。 　　用弧度表示终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的集合用弧度可表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},这里α应为弧度数 【变式训练】　集合αkπ+≤α≤kπ+,k∈Z中角的