7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 课后达标 检测(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦弧度制核心内容，涵盖角的度量、弧长与扇形面积公式及终边相同角的表示，通过基础题（如分针转动弧度计算）巩固概念，能力提升题（如勒洛三角形、扇环面积）深化理解，素养拓展题（如密位制）衔接实际，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于融入工艺扇面、《九章算术》弧田面积等生活与文化情境，以问题链培养数学眼光（发现空间形式）、数学思维（逻辑推理弧长公式应用）、数学语言（符号表达终边相同角）。例如密位制题目引导学生用数学语言描述度量问题，既提升学生应用意识，又为教师提供落实核心素养的丰富教学资源。

7．1.2　课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 解析：在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误； 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ √ 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 课后达标 检测 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 54° 课后达标 检测 8．已知弧长为π的弧所对的圆心角为20°，则这条弧所在圆的半径为________． 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 9 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 300π 课后达标 检测 10．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界). 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 √ √ 课后达标 检测 该扇形的周长为6π＋6π＋3π＝15π，B错误； 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 课后达标 检测 13．以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知正三角形 ABC的边长为2，则图中勒洛三角形的面积与周长之比为________． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 课后达标 检测 14．已知角α＝2 040°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 已知角α＝2 040°. (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 16．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角的绝对值为α(0<α<π). (1)当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角的绝对值为α(0<α<π). 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 1．从13：00到当天13：25，某时钟的分针转动的弧度为(　　) A． eq \f(5π,6) B． eq \f(2π,3) C．－ eq \f(5π,6) D．－ eq \f(2π,3) 解析：因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，所以分针转动的弧度为－ eq \f(25,30) π＝－ eq \f(5π,6) .故选C. 2．在半径为9的圆中，100°的圆心角所对弧长为(　　) A．900 B．5π C． eq \f(5,2) π D．10π 解析：100°＝ eq \f(π,180) ×100＝ eq \f(5π,9) ，则所对弧长为 eq \f(5π,9) ×9＝5π.故选B. 3．与 eq \f(9π,4) 终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A．45°＋2kπ，k∈Z B．k·360°＋ eq \f(π,4) ，k∈Z C.k·360°＋315°，k∈Z D．2kπ－ eq \f(7π,4) ，k∈Z 与 eq \f(9π,4) 终边相同的角可以写成2kπ＋ eq \f(9π,4) (k∈Z)的形式，当k＝－2时，2kπ＋ eq \f(9π,4) ＝－ eq \f(7π,4) ，315°换算成弧度制为 eq \f(7π,4) ，所以C错误，D正确．故选D. 4．如图所示，已知⊙O的一条劣弧 eq \o(AE,\s\up18(︵)) 的长等于该圆内接正三角形ABC的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是(　　) A． eq \f(π,3) B．－ eq \f(π,3) C． eq \r(3) D．－ eq \r(3) 解析：设⊙O的半径为r，劣弧 eq \o(AE,\s\up18(︵)) 的长为l，过圆心O作OD⊥AB于点D，则D为AB边的中点．因为AO＝r，∠OAD＝30°，AD＝r·cos 30°＝ eq \f(\r(3),2) r，所以边长AB＝2AD＝ eq \r(3) r，所以劣弧 eq \o(AE,\s\up18(︵)) 的长l＝AB＝ eq \r(3) r.又α是负角，所以α＝－ eq \f(l,r) ＝－ eq \f(\r(3)r,r) ＝－ eq \r(3) .故选D. 5.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及了弧田面积的计算问题．如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为6，圆心角为 eq \f(2π,3) ，则此弧田的面积为(　　) A．12π－9 eq \r(3) B．9π－12 eq \r(3) C．12π－3 eq \r(3) D．12π 解析：由题意得，扇形半径r＝6，圆心角α＝ eq \f(2π,3) ，扇形面积为 eq \f(1,2) αr2＝ eq \f(1,2) × eq \f(2π,3) ×62＝12π，设点C为AB的中点，连接OC，则OC⊥AB，由∠AOB＝ eq \f(2π,3) ，有∠OAC＝ eq \f(π,6) ，得OC＝3，AC＝3 eq \r(3) ，S△AOB＝ eq \f(1,2) AB·OC＝ eq \f(1,2) ×6 eq \r(3) ×3＝9 eq \r(3) ，所以此弧田的面积为12π－9 eq \r(3) .故选A. 6．(多选)若角α的终边与角 eq \f(7π,12) 的终边关于x轴对称，且α∈(－2π，2π)，则α的值可能为(　　) A．－ eq \f(7π,12) B．－ eq \f(19π,12) C． eq \f(19π,12) D． eq \f(17π,12) 解析：因为角α的终边与角 eq \f(7π,12) 的终边关于x轴对称，所以α＝－ eq \f(7π,12) ＋2kπ，k∈Z，又因为α∈(－2π，2π)，所以当k＝0时，α＝－ eq \f(7π,12) ；当k＝1时，α＝ eq \f(17π,12) .故选AD. 7．把下列各角度与弧度进行互化． (1)18°＝________； 解析： eq \f(3,10) π＝ eq \f(3,10) ×180°＝54°. eq \f(π,10) (2) eq \f(3,10) π＝________． 解析：18°＝18× eq \f(π,180) ＝ eq \f(π,10) . 解析：由于20°＝ eq \f(π,9) ，所以根据弧长公式得这条弧所在圆的半径为 eq \f(π,\f(π,9)) ＝9. 9．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为 eq \f(3π,4) 的扇环，其中扇环的外圆半径为30 cm，内圆半径为10 cm，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料________cm2. 解析：由题意可知，扇环的面积为S＝ eq \f(1,2) × eq \f(3π,4) ×(302－102)＝300π(cm2). 解：(1)如题图1，以OA为终边的角为 eq \f(π,6) ＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－ eq \f(2π,3) ＋2kπ(k∈Z)，所以题图1中阴影部分内的角的集合为{α|－ eq \f(2π,3) ＋2kπ<α< eq \f(π,6) ＋2kπ，k∈Z}． (2)如题图2，以OA为终边的角为 eq \f(π,3) ＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为 eq \f(2π,3) ＋2kπ(k∈Z). 不妨设题图2中右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2， 则M1＝{α|2kπ<α< eq \f(π,3) ＋2kπ，k∈Z}， M2＝{α| eq \f(2π,3) ＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}． 所以题图2中阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝{α|2kπ<α< eq \f(π,3) ＋2kπ或 eq \f(2π,3) ＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}． 11．如图，分别以边长为3的正五边形ABCDE的顶点C，D为圆心，边长为半径画弧，两弧交于点F，则 eq \o(BF,\s\up18(︵)) 的长为(　　) A． eq \f(4π,5) B． eq \f(4π,3) C． eq \f(3π,5) D．π 解析：如图，连接CF，DF，由题得△CDF为等边三角形，所以∠FCD＝ eq \f(π,3) ，又∠BCD＝ eq \f(（5－2）π,5) ＝ eq \f(3π,5) ， 所以∠BCF＝∠BCD－∠FCD＝ eq \f(3π,5) － eq \f(π,3) ＝ eq \f(4π,15) ，所以 eq \o(BF,\s\up18(︵)) ＝ eq \f(4π,15) ×3＝ eq \f(4π,5) .故选A. 12．(多选)已知某扇形的弧长为3π，圆心角为 eq \f(1,2) ，则(　　) A．该扇形的半径为6π B．该扇形的周长为9π C．该扇形的面积为9π D．该扇形的面积为9π2 解析：设该扇形所在圆的半径为r，弧长为l，圆心角为α， 则r＝ eq \f(l,α) ＝ eq \f(3π,\f(1,2)) ＝6π，A正确； 该扇形的面积为 eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ×(6π)2＝9π2，C错误，D正确．故选AD. 1－ eq \f(\r(3),π) 解析：由题意易知以点A，B，C为圆心，圆弧BC，AC，AB所对的扇形面积各为 eq \f(1,2) × eq \f(π,3) ×22＝ eq \f(2π,3) ，等边三角形ABC的面积为 eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) ＝ eq \r(3) ，所以题图中勒洛三角形的面积是 eq \f(2π,3) ×3－2× eq \r(3) ＝2π－2 eq \r(3) ，周长为 eq \f(π,3) ×2×3＝2π，故题图中勒洛三角形的面积与周长之比为1－ eq \f(\r(3),π) . 解：α＝2 040°＝2 040× eq \f(π,180) ＝ eq \f(34π,3) ， 又 eq \f(34π,3) ＝ eq \f(4π,3) ＋5×2π，所以α＝ eq \f(4π,3) ＋5×2π， 所以α与 eq \f(4π,3) 的终边相同，又π< eq \f(4π,3) < eq \f(3π,2) ， 因此α是第三象限角． 解：与α终边相同的角可以写成γ＝ eq \f(4π,3) ＋2kπ，k∈Z，又γ∈[－5π，0)， 所以当k＝－3时，γ＝－ eq \f(14,3) π； 当k＝－2时，γ＝－ eq \f(8,3) π； 当k＝－1时，γ＝－ eq \f(2,3) π. 所以在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－ eq \f(14,3) π，－ eq \f(8,3) π，－ eq \f(2,3) π. 15．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省略不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”，1周角等于6 000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00，如果一个半径为3的扇形，它的面积为 eq \f(3,10) π，则其圆心角用密位制表示为(　　) A．14－40 B．12－50 C．4－00 D．2－00 解析：依题意，设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n， 则 eq \f(1,2) α×32＝ eq \f(3,10) π，解得α＝ eq \f(1,15) π， 由题意可得 eq \f(n,6 000) ＝ eq \f(\f(1,15)π,2π) ， 解得n＝ eq \f(1,30) ×6 000＝200， 因此该扇形圆心角用密位制表示为2－00.故选D. 解：延长BA，CD相交于点O，设内圆弧半径为r， 则AB＝CD＝OA＝OD＝r，所以 eq \o(AD,\s\up18(︵)) ＝rα， eq \o(BC,\s\up18(︵)) ＝2rα， 所以rα＋2rα＋2r＝2l，则r＝ eq \f(2l,3α＋2) ， 所以S扇环＝S扇形OBC－S扇形OAD ＝ eq \f(1,2) ×2rα×2r－ eq \f(1,2) ×rα×r＝ eq \f(3,2) αr2 ＝ eq \f(6l2,9α＋\f(4,α)＋12) ≤ eq \f(6l2,2\r(9α·\f(4,α))＋12) ＝ eq \f(l2,4) ， 当且仅当9α＝ eq \f(4,α) ，即α＝ eq \f(2,3) (负值已舍去)时，S扇环取得最大值，最大值为 eq \f(l2,4) . (2)当α＝2时，求 eq \o(BC,\s\up18(︵)) 的中点E到弦BC的距离． 解：连接OE，设OE交BC于点F，则由垂径定理得OE⊥BC，则 eq \o(BC,\s\up18(︵)) 的中点E到弦BC的距离为EF， ∠BOE＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝1， 由(1)知，r＝ eq \f(2l,3α＋2) ＝ eq \f(2l,3×2＋2) ＝ eq \f(l,4) ， 所以OF＝ eq \f(l,2) cos 1， 所以EF＝OE－OF＝2r－ eq \f(l,2) cos 1＝ eq \f(l,2) (1－cos 1). 所以点E到弦BC的距离为 eq \f(l,2) (1－cos 1). $