浙江省四校2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题

2023学年第二学期3月四校联考 高二数学学科试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线与直线互相垂直，则为（ ） A． B．1 C． D．2 2．已知是等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知等比数列的前项和为且，，成等差数列，则为（ ） A．244 B．243 C．242 D．241 5．已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线与相交于A，B两点，若，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知圆，，，则（ ） A．在圆上存在点，使得 B．在圆上存在点，使得点到直线的距离为5 C．在圆上存在点．使得 D．在圆上存在点，使得 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，则下列结论中正确的是（ ） A．点到平面的距离为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．若点在底面内运动，点到直线的距离为，则点的轨迹为一个椭圆的一部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线的离心率为，则其渐近线方程是_________． 13．在数列中，，，若数列为等差数列，则_________． 14．若对任意的、，且，则的最小值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（13分）已知函数，． （1）求的单调区间与极值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 16（15分）已知公差不为0的等差数列和等比数列中，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若为数列的前项和，求使成立的的值． 17（15分）如图，在多面体中，平面平面，是边长为2的等边三角形，四边形是菱形，且，，． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为．若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由． 18（17分）已知函数有两个极值点． （1）求实数的取值范围； （2）设函数的两个极值点分别为，，且，证明：． 19（17分）已知抛物线，，过焦点的直线交抛物线于，两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）若线段交轴于，两点，判断是否是定值，若是，求出该值，否则说明理由． （3）若直线交抛物线于C，D两点，为弦的中点，，是否存在整数，使得的重心恰在抛物线上．若存在，求出满足条件的所有的值，否则说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$答案第 1 页，共 12 页 2023 学年第二学期 3 月四校联考 高二数学学科 答案 1．C 【分析】根据两直线垂直的一般式的结论即可得出答案. 【详解】两直线垂直，则有 1 2 1 2 0A A B B+ = ，即2 2 0m+ = ，解得 1m = − . 故选：C 2．B 【分析】根据等比数列的单调性结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当 2 1 0a a  ，则公比 2 1 1 a q a =  ， 所以 1 1 0 n na a q −=  ， 则 1 1n n a q a + =  ，所以 1n na a+  ，所以 na 为递增数列， 若 1 2 n na   = −    ，此时数列 na 为递增数列，而 2 10 a a  ， 所以“ 2 1 0a a  ”是“ na 为递增数列”的充分不必要条件. 故选：B. 3．D 【分析】根据题意设出圆心C 的坐标，利用 4 3 CTk = 求出点C 坐标，进而求出半径 r CT= ，得解. 【详解】由题意，设 ( ),C a a （ 0a  ），圆C 的半径为 r ， 1 4 3 CT a k a −  = = ，解得 3a = − ， 所以圆心 ( )3, 3C − − ，半径 ( ) ( ) 2 2 3 0 3 1