微专题(九) 等腰三角形性质的运用-【原创新课堂•广东专版】2022-2023学年七年级数学下册作业课件(北师大版)

数学 七年级下册 北师版 原创新课堂 微专题(九)　等腰三角形性质的运用 1. 等腰三角形的性质：(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；(3)等腰三角形的两个底角相等． 2. 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形所有的性质． 类型之一　等腰三角形的有关计算 1. (广州期中)如图所示，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是边AC上的高，∠CBE＝16°，且AC＝AD，求∠ABE的度数． 解：∵BE是△ABC的高，∴∠BEA＝∠BEC＝90°，∵∠CBE＝16°，∴∠C＝74°，∵AC＝AD，∴∠ADC＝74°，∴∠DAC＝180°－74°－74°＝32°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC＝64°，∴∠ABE＝90°－64°＝26° 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB上的中线将三角形的周长分成6 cm和15 cm的两部分，求这个三角形的腰和底边的长度． 解：分两种情况讨论：①AC＋AD＝6 cm，BC＋BD＝15 cm，∵AD＝BD，AB＝AC，∴2AD＋AD＝6 cm，∴AD ＝2 cm，∴AB＝4 cm，BC＝13 cm，∵AB＋AC＜BC，∴不能构成三角形，故舍去；②AC＋AD＝15 cm，BC＋BD＝6 cm，同理得：AC＝AB＝10 cm，BC＝1 cm，∵AB＋AC＞BC，AB－AC＜BC，∴能构成三角形，∴腰长为10 cm，底边长为1 cm 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BC＝BD，求∠A的度数． 解：∵DE＝EB，∴设∠BDE＝∠ABD＝x，∴∠AED＝2x，∵AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝2x，∴∠BDC＝3x，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝3x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，3x＋3x＋2x＝180°，解得x＝22.5°，∴∠A＝2x＝22.5°×2＝45° 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一点，E为线段AC上一点，且AD＝AE. (1)若∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，求∠BAD与∠CDE的度数； (2)设∠BAD＝α，∠CDE＝β，试写出α，β之间的关系并说明理由． 类型之二　“三线合一”解题 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，E是AB上一点且BD＝BE，求∠ADE的度数． 解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝∠BED＝75°， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝15° 6. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数． 解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，即∠AEC＝90°， ∵∠ADC＋∠EDC＝180°，∠ADC＝130°， ∴∠EDC＝50°，∴∠ECD＝90°－50°＝40°， 又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝80°， ∴∠B＝∠ACB＝80°，∠BAC＝180°－80°×2＝20° 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.试说明：∠BAC＝2∠DBC. 解：作AE⊥BC于点E，由三线合一知∠BAC＝2∠CAE，又由∠CAE，∠DBC都与∠C互余，得∠CAE＝∠DBC，∴∠BAC＝2∠DBC 8. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点，且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE. (1)求∠DAE的度数； (2)若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，试说明BF＝CE. 解：(1)∵AB＝AC，∠ABC＝35°，∴∠C＝35°，∵AE＝CE，∴∠CAE＝35°，∵D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°－35°＝55°，∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝55°－35°＝20° (2)∵D是BC边上的中点，∴BD＝CD，∵∠AFE＝∠AEF，∴∠AFB＝∠AEC，由(1)知AB＝AC，∠B＝∠C，∴△ABF≌△ACE，∴BF＝CE 解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠DAE＝40°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝20°，∴∠ADB＝180°－20°－60°＝100°，∴∠ADC＝80°，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝80°－70°＝10° (2)结论：α＝2β，理由是：设∠BAC＝x°，∠DAE＝y°，则α＝x°－y°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝ eq \f(180°－x°,2