2024年北京大学“物理卓越计划”选拔考试数学试题

2024 年北京大学 “物理卓越计划” 选拔考试数学试题 1. 求满足 10(�� + �� + ��) = 9���(� ≤ � ≤ �) 的所有正整数解. 2. 若 �2 − �� − 6�2 = 1, 求 �2 + �� + �2 的最小值. 3. 已知数列 �� 满足 ��+� = 1 2 �2� + �2� − (�− �)2, �0 = 11, �1 = 11, 求�2023. 4. 函数 � = �3 + �� 的图像有唯一内接正方形, 求 � 与正方形的边长. 5. 求单位正方形的内接正三角形的最大面积与最小面积. 6. 网球比赛, 本来要求每两个人之间要比一场比赛, 有三位选手每人比了 2 场比赛后 就退出了, 最后只进行了 50 场比赛, 问退出的三位选手之间比了几场赛? 7. 求积分 �� = ∫0 � 4   sin �−cos � sin �+cos � 2� d�. 8. 30 个同学, 每个同学有 23 个朋友. 现在定义好三角组为选择三个同学, 这三个人 互相都是朋友或互相都不是朋友, 问有多少个好三角组? 9. 对于任意正整数 �, � 证明： ∑�=0�  ( − 1)���� 1 �+�+1 = ∑�=0�  ( − 1)���� 1 �+�+1 . 10. 对于四边形 ����, 有 �� = 3 2 2 , �� = 10 2 , �� = 1, �� = 3, 且有 ∠� = 75∘, 求 对边中点距离之和. 北京大学2024 年 “物理卓越计划” 选拔考试数学试题解答 1. 【解析】：. 若，则；，所以，故. 当时，； 当时，（舍）； 当时，； 故. 若，则，所以，故. 当时，（舍）； 而. 综上，原方程所有解为. 2. 3.【解析】：令 记，.① 令 故.② 由①、②知： 是以2为公差的等差数列. . 4. 5. 【解析】 如图，正方形的边长为，不失一般性假设是其满足条件的内接正三角形，边长为，过的中点作垂足为，连，又设， 四点共圆，同理点， 必过点，是边长为1的等边三角形， ，. .， 所以所求内接正三角形的最大面积与最小面积分别为、. 6.【解析】：设共有名选手，除去这3名，还剩下名选手. 设这3名选手之间比了场比赛（）. 除去这3名选手的比赛，剩余人共比赛了场. （1）时，，不符合； （2）时，； 由于，，故符合； （3）时，，不符合； 所以，时，满足条件，故退出的3名选手之间比赛了1场。 7. 8.【答案】：2080个 9. 【解析】： 10. 【解析】：以为轴正反向建立平面直角坐标系，所以得出 为以为圆心，半径等于的圆与以为圆心，半径等于1的圆的交点，存在两个. 设 化简得： 所以，中点为，中点为， 中点为，中点为 所以中点为 所以 则当时，； 当时，； 综上，对边中点距离之和为或。 学科网（北京）股份有限公司 $$