第1讲 几何变换之旋转变换讲义（解析版+原卷版）冲刺2024数学中考二轮复习压轴题专题突破（全国通用））

第1讲 几何变换之旋转变换（原卷版） 第一部分 知识导航 1、 旋转初步 旋转在生活中很常见，在数学中，旋转变换也是几何三大变换中最常考的一种，也是在近几年中考和直升外地生考试中频繁出现的热点考点。 1．旋转的三要素：旋转角度，旋转中心和旋转方向。 2．旋转的性质：旋转前后对应的图形全等，对应的旋转角度相等。 3．中心对称：特别的，如果旋转角度为，那么旋转前后两个图形成中心对称。 注意：两个图形成中心对称和中心对称图形要区别清楚，两个图形成中心对称指的是两个图形，中心对称图形指的是一个图形，比如说平行四边形是一个中心对称图形。 2、 半角模型 大角和半角，比较常见的是和，和，以和为例。 模型I：正方形中，， 可得：①；②． 模型II：等腰直角中，，可得． 3、 特殊三角形的旋转 模型I：等边三角形的旋转模型 因为在旋转角为的旋转变换下，任意一组对应点与旋转中心恰好构成一个正三角形的三个顶点，这样，对于条件中含有正三角形的平面几何问题，我们即可以考虑用旋转角为的旋转变换处理．旋转中心可以选取正三角形的某个顶点． 模型II：等腰直角三角形的旋转模型 因为在旋转角为的旋转变换下，任意一组对应点与旋转中心恰好构成一个等腰直角角形的三个顶点，这样，对于条件中含有等腰直角三角形的平面几何问题，我们即可以考虑用旋转角为的旋转变换处理．旋转中心通常选取等腰直角三角形的直角顶点． 四、三角形中的费马点 1．定义：在一个四边形内找一个点，使得这个点到四边形四个点的距离和最小，这个点即为四边形两条对角线的交点． 在一个三角形内找一个点，使得这个点到三角形三个点的距离和最小，这个点我们称为三角形中的费马点． 第二部分 典例剖析+针对训练 考点1 旋转初步 【典例1】（2022•广饶县一模）如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于E． （1）如图1，猜想∠QEP＝　 　； （2）如图2，若当∠DAC是锐角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明； （3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长． 【针对训练】 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠BCA＝（　　） A．13° B．28° C．32° D．45° 2．（2022•东莞市一模）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′的位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为（　　） A．2 B． C．3 D．1.5 考点二 半角模型 （一）90°夹45° 【典例2】（2023秋•市南区期中）【模型引入】 当几何图形中，两个共顶点的角存在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”． 【模型探究】 （1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系． 【模型应用】 （2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时，△CEF的周长等于 　 　． （4）如图4，正方形ABCD中，△AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E，若MH＝2，NH＝3，DF＝2，求AH、EF的长． （5）如图5，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF＝60°，连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2＝BM2． 【针对训练】 1．（2023•重庆模拟）如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G． （1）求证：AF＝FG； （2）如图②，连接EG，当BG＝3，DE＝2时，求EG的长． 【典例3】如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．容易证得：CE＝CF； （1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，试猜想GE、BE、GD三线段之间的关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，若以C为圆心，CD