专题02 其他常见函数的研究—2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破（新高考）

培优课程2 其他函数的研究 【考情综述】 除了基本初等函数外，在高考中还经常涉及到其他一些常见函数，如“对勾”函数、“分式一次”函数、“折线”函数、高斯函数等． 通过对这些常见函数的研究，考察函数的基本性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等．而这些函数又可以和基本初等函数复合，从而往往具有一定的综合性，需要用到分类讨论、等价转化、数形结合等数学中的重要思想方法． 突破点一：“对勾”函数 例1 ：（1）已知，函数f(x)＝在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是 ． 解析：因为x[1,4]，所以x＋∈[4,5]， ①当a≤时，f(x)max＝|5－a|＋a＝5－a＋a＝5，符合题意； ②当a>时，f(x)max＝|4－a|＋a＝2a－4＝5，解得a＝(矛盾)，故a的取值范围是． 答案： （2）（2024·武汉校级调研）若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 解析：原不等式即，得， 所以， 令，设， 由对勾函数的单调性，在上递减，在递增． 所以，． 所以，，所以． 答案：． （3）对定义域分别是、的函数、，规定：函数． ①若函数，，写出函数的解析式； ②求问题①中函数的值域． 解：①Df={x|，且x≠1}，Dg＝R． 若x且x，则x∈{x|x∈R，且x≠1}，h(x)=； 若x且x，此种情形不可能； 若x且x，则x=1，h(x)=x2=1． 所以 ②当x≠1时，h(x)==． 当x＞1时，则，所以h(x)≥4； 当x＜1时，则，所以h(x)≥4；h(x)≤0． 故h(x)的值域为． 〖方法策略〗 一、“对勾”函数的定义：形如的函数，叫做对勾函数． 二、对勾函数的图象与性质 1．定义域 ； 2．值域：； 3．奇偶性：奇函数； 4．单调性：在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数； 5．渐近线 当时，，当时，，说明函数的的图象在第一、第三象限． 当时，，说明函数在第一象限的图象在直线的上方， 当时，，说明函数在第三象限的图象在直线的下方． 对勾函数是以轴和直线为渐近线的双曲线． 突破点二： 分式一次函数 例2：（1）已知函数 ，给出下列三个命题： ①函数图象关于点（1，1）对称； ②函数在定义域内单调递减； ③将图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数的图象重合． 其中，正确命题序号是 ． 解析：，是由函数先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的． 答案：①③ （2）函数在内的最大值 ；最小值分别是 ． 【答案】；1 【解析】，故f(x)在上为增函数，所以f(x)在上的最大值为 ，最小值为． （3）已知函数f(x)(x∈R)的图象关于点(1，2)对称，若函数y＝－f(x)有四个零点x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝ ． 解析： y＝－f(x)的零点即为＝f(x)的解，所以 y＝与y＝f(x)有四个交点． 因为y＝＝2＋，所以y＝的图象关于点(1，2)对称． 又f(x) (x∈R)的图象关于点(1，2)对称， 所以 y＝与y＝f(x)的四个交点关于(1，2)对称， 所以 x1＋x2＋x3＋x4＝2＋2＝4． 答案：4． 〖方法策略〗 一、“分式一次函数”的定义 形如的函数，叫做分式一次函数． 二、“分式一次函数”的图象和性质 将通过分离常数法可得，图象为双曲线，有以下性质： 1．定义域：； 2．值域：； 3．单调性：当时，单调递减区间为， 当时，单调递增区间为； 4．对称中心：． 突破点三：折线函数 例3 （1）（2024·重庆质检）已知函数，若，且，则的取值范围为 ． 解析：因为，所以且， 所以，所以，即，所以． 答案： （2）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若 ，，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】当时, 结合是奇函数，可作出的图象， 如图，，，的图象恒在图象的下方， 即的图象向右平移个单位恒在图象的下方，， ，即实数的取值范围为． 〖方法策略〗 一、“折线函数”定义 形如的函数，我们称为“折线”函数． 二、“折线函数”的图象和性质 函数图象特点：两端图象向上挑，中间是一些线段依次相连． 当 时，图象呈“尖底”型， 单调性：在递减，在递增， 最值：当时，f(x)取得最小值，无最大值． 当 时， 图象呈“平底”型， 单调性：在递减，在为常函数， 在递增 最值：当时，f(x)取得最小值，无最大值． 突破点四：高斯函数 例4 （1）在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数(也称高斯函数