海南省海南中学2023-2024学年衍林杯学科竞赛高一下学期数学二试试题

第 1 页 共 1 页 海南中学 2022-2023 学年“衍林杯”学科竞赛 高一数学二试 试题 （满分 100 分，总时量 60 分钟） 考生注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 一、（本题满分 40 分）如图所示，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上一点，以 C 为切 点的切线交线段 AB的延长线于点 P，作 AM CP⊥ 于 M，CD AB⊥ 于 D． （1）求证： AD AM= ； （2）若 1OA = ， 30PCB = ，求 PC 的长． 二、（本题满分 30 分）试求出所有正整数 a使得关于 x的二次方程 2 2(2 1) 4( 3) 0ax a x a+ − + − = 至少有一个整数根． 三、（本题满分 30 分）若实数 , ,a b c 满足 2 2 2 1a b c+ + = ，求 23 3 2ab bc c− + 的最大值． 第 1 页 共 2 页 海南中学 2022-2023 学年“衍林杯”学科竞赛 高一数学二试 参考答案 （满分 100 分，总时量 60 分钟） 考生注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将答题卡交回． 一、（本题满分 40 分）如图所示，AB是圆 O的直径，C是圆 O上一点，以 C为 切点的切线交线段 AB的延长线于点 P，作 AM CP⊥ 于 M，CD AB⊥ 于 D． （1）求证： AD AM= ； （2）若 1OA = ， 30PCB = ，求 PC 的长． 解：（1）由 AB 是圆 O 的直径， 得 90ACB = ，即 90ACD BCD + = ， 又CD AB⊥ ，所以 90ABC BCD + = ， 所以 ABC ACD =  ． 由 PM 是圆 O 的切线， 得 MCA ABC ACD =  =  ， 又 90 ,AMC ADC AC AC =  =  = ， 所以 AMC ADC   ，得 AD AM= ． （2）由 30PCB = ，PC 是圆 O 的切线，得 30PAC PCB =  = ， 在 Rt ABC 中，由 2, 30AB BAC=  = 得 1, 60BC ABC=  = ， 所以 30BPC = ． 则 , 1BPC BCP BC BP =  = = ， 由切割线定理，得 2 ( ) 1 (1 2) 3PC PB PA PB PB AB=  =  + =  + = ， 则 3PC = ． 二、（本题满分 30 分）试求出所有正整数 a使得关于 x的二次方程 2 2(2 1) 4( 3) 0ax a x a+ − + − = 至少有一个整数根． 第 2 页 共 2 页 解：原方程可化为 122)2( 2 +=+ xax ，易知 2−x ，此时 2)2( 122 + + = x x a 因为 a是正整数，即 1 )2( 122 2  + + x x 为正整数．又 0)2( 2 +x ，则 122)2( 2 ++ xx 即 0822 −+ xx ，解得 24 − x ． 因为 2−x 且 x是整数，故 x只能取-4，-3，-1，0,1,2， 依次带入 a的表达式得    = −= 1 4 a x    = −= 6 3 a x    = −= 10 1 a x    = = 3 0 a x      = = 9 14 1 a x    = = 1 2 a x 从而满足题意的正整数 a的值有 4 个，分别为 1, 3 ,6,10 三、（本题满分 30 分）若实数 , ,a b c满足 2 2 2 1a b c+ + = ，求 23 3 2ab bc c− + 的最大 值． 解：设 , ,a x b y c z= = = − ，该题变为： 已知实数 , ,x y z满足 2 2 2 1x y z+ + = ，求 23 3 2xy yz z+ + 的最大值． 由不等式 2 2 2 ( , )X Y XY X Y R+   ，可得 2 233 3 4 x y xy+  （当且仅当 2y x= 时取等号） 2 29 3 4 y z yz+  （当且仅当 3 2 z y=