2024年山东省青岛中考数学高中知识新定义问题训练

2024青岛中考数学高中知识新定义问题 一．选择题（共3小题） 【高一上，高斯函数】1．（2023秋•渝中区校级期中）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有　　个． ①；②；③若，且，则或；④方程的解为或． A．1 B．2 C．3 D．4 【通用，进制】2．（2023秋•海曙区期中）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示，另一只手用五根手指表示倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出两根手指，右手大拇指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是　　 A．7 B．25 C．21 D．29 【高二上，等比数列】3．（2023秋•绍兴期中）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共1小题） 【高一上，指数函数】4．（2022•青岛一模）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．上调为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算镭缩减为所有的时间大约是 　　年． 三．解答题（共7小题） 【高一上，对数】5．（2023秋•攸县期末）一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为，即．譬如：，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．根据对数的定义完成下列问题： （1）计算以下各对数的值： 　　；　　；　　． （2）由（1）中计算的结果及结合三个数4；16；64之间满足的等量关系式，直接写出；；满足的等量关系式． （3）由（2）猜想一般性结论：　　且，，，并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想． 【高二上，距离公式】6．（2024•市南区校级开学）阅读材料 通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？ 如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分为，，，，由勾股定理得，所以、两点间的距离为．这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离． 我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离： 已知点和直线，则点到直线的距离可用公式． 计算：例如：求点到直线的距离． 解：因为直线可变形为，其中，． 所以点到直线的距离了为． 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知，，写出线段的长度 　　；（只写答案） （2）点到直线的距离，并说明点与直线的位置关系； （3）已知直线与平行，求这两条直线的距离． 【高二下，排列组合】8．（2022•青岛一模）【阅读理解】 排列：从个元素中选取个元素，这个元素称为一个排列，不同顺序视作不同排列，排列数量记作． 组合：从个元素中选取个元素，这个元素称为一个组合，不同顺序视作同一组合，组合数量记作． 例如：（甲、乙），（乙、甲）是两种不同的排列，确实同一种组合． 【问题提出1】在5个点中选取其中3个，有多少种排列？有多少种组合？ 【问题解决1】 将5个点分别编号为“1”“2”“3”“4”“5”． （一排列： （1）选取第1个点： 如图①，从全部5个点中选取1个，有5种情况； （2）选取第2个点： 如图①，从剩余4个点中选取1个，有4种情况； （3）选取第3个点： 如图①，从剩余3个点中选取1个，有3种情况； 综上所述，从5个点中任选3个点，共有种排列，即． （二组合： 因为每个组合都包含了3个点，所有每3个点共有（种排列．例如：包含“1”“2”“3”这3个点的组合，就有，2，，3，，1，，3，，1，，2，共6种不同排列像这样，每个组合都重复了6次（即次），即组合数排列数的，故“在5个点中选取其中3个”对应组合数（种． 填空：（1）　　； （2）　　； （3）　　． 【问题提出2】在五边形中，每次取其中的3个顶点连接成三角形，可以构造多少个三角形？ 【问题解决2】 解：问题可以抽象成在5个点中取其中3个，有多少种组合． （种， 在5个点中取其中3个，有10种组合． 即在五边形中，每次取其中的3个顶点连接成三角形，可以构造10个三角形． 【问题延伸】在六边形中，每次取其中的4个顶点连接成四边形，可以构造多少个四边形？ （请仿照【问题解决2】利用排列、组合的计算方法解决问题） 【建立模型】在边形中，每次取其中的个顶点连接成角形，可以构造 　　个边形． 【模型应用】在如图②所示的正方形网格图中，以格点为顶点的三角形共有 　　个． 【高一上，基本不等式】7．（2022秋•张店区期末）阅读理解： 配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小值．对于任意正实数，，可作如下变形： 又， ，即． （1）根据上述内容，回答问题：若有正实数