等体积法 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

等体积法讲义 例1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 例2．如图，在斜三棱柱中，，且三棱锥的体积为.    (1)求三棱柱的高； (2)若平面平面为锐角，求二面角的余弦值. 例3．如图（1），在平面五边形中，，，将沿折起得到四棱锥，如图（2），是棱上一点，且，连接． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 例4．如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，．    (1)证明：BD平面； (2)求点C到面PBD的距离． 例5．如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为平行四边形，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 例6．如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 例7．在三棱锥中，为的中点. (1)证明：⊥平面. (2)若，平面平面，求点到平面的距离. 例8．如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，E是底面圆周上的一点，. (1)求证：平面. (2)求点到平面的距离. 练习 1．如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，. (1)求三棱锥的体积； (2)求MC与平面所成角的正弦值. 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.    (1)证明：； (2)若，点为棱中点，求点到平面的距离 3．如图，在多面体中，平面平面，四边形是矩形，四边形是边长为2的菱形，是侧棱上的一点，且. (1)证明：； (2)若为棱的中点，求点到平面的距离. 4．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正切值. 5．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，PA＝AB＝2CD＝2，，E，F分别为PB，AB的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 6．如图，在四棱锥中，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)已知，且，求点D到平面的距离． 7．如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)若平面，且，求点与平面的距离 8．如图，正方形的边长为分别是的中点，将沿折起，使得为正三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等体积法讲义 例1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 解析（1）由底面为正方形，得，又平面， 于是平面，而平面，则，同理， 又平面， 所以平面. （2）由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理， 在中，，因此， 在直角中，， 由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为 设点到平面的距离为，由，得，解得， 所以点到平面的距离为. 例2．如图，在斜三棱柱中，，且三棱锥的体积为. (1)求三棱柱的高； (2)若平面平面为锐角，求二面角的余弦值. 解析（1）解：设三棱柱的高为， 因为，所以， 又因为三棱锥的体积为，可得，解得， 即三棱柱的高为. （2）解：过点作于点，连接， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 由（1）知，又因为为锐角，所以， 在中，，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，可得平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为.    例3．如图（1），在平面五边形中，，，将沿折起得到四棱锥，如图（2），是棱上一点，且，连接． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 解析（1）因为，所以， 又，所以，在中，由余弦定理， 得， 所以，所以， 又， 所以， 所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）由（1）知平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以， 在中，， 所以， 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 则，解得， 所以点到平面的距离为． 例4．如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，．    (1)证明：BD平面； (2)求点C到面PBD的距离． 解析（1）取中点，连，因为，，，， 所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，则 得，，故，    因为，，平面， 所以平面 （2）设点C到平面PBD的距离为h,由（1）得，， 则面积为， 取中点，连，则，且， 因为平面， 平面， 所以，，平面， 所以平面， 又面积为， 三棱锥的体积为， 得.即点C到平面PBD的距离. 例5．如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为平行四