2024年中考数学高频考点突破——实际问题与 二次函数

2024年中考数学高频考点突破——实际问题与二次函数 1． 列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润最多？最多获利是多少元？ 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点，连接，点在第一象限的抛物线上，设点的横坐标为． (1)求点、点的坐标； (2)如图，抛物线的顶点为，过点作轴的垂线，交于点，过点作交于点，过点作轴于点，设的长为，的长为，，当取最大值时，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图，点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且与x轴交于、B两点，交y轴于点C，连． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D为线段上一动点，过点D作交y轴右侧的抛物线于点E，过E作交于点F，求四边形周长的最大值及此时点E的坐标； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移个单位，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，点N为原抛物线上一点，当四边形为平行四边形时，请求出点M到直线的距离． 4．中国国家跳水队是中国体育王牌中的王牌，被称为“中国跳水梦之队”．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2m，跳板距水面的高为3m，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1m时达到距水面最大高度km．现以为横轴，为纵轴建立平面直角坐标系． (1)当时， ①求这条抛物线的解析式；（不必写x的取值范围） ②求运动员落水点与点C的距离． (2) 已知，，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求符合条件的k的整数值． 5．如图，抛物线经过点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式： (2)点D为对称轴轴右侧抛物线上一点，，求出点D坐标． (3)在（2）的条件下，P为线段上一动点，连接，当时，直接写出P点坐标． 6．某工厂计划投资生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图①所示：产品的利润（万元）与投资量（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．      (1)请直接写出利润与关于投资量的函数关系式________，________； (2)如果工厂以9万元资金投入生产两种产品，要求产品的投资金额不超过的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？ (3)在（2）问的情况下，工厂要获得不低于18万的利润，工厂要如何投资？ 7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 8．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点E的坐标和四边形面积的最大值； (3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为． (1)求点B的坐标； (2)若点P在抛物线上，，且，求点P的坐标． 10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点在第二象限内的抛物线上，动点在对称轴上． 当，且时，求此时点的坐标； 当四边形的面积最大时，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 11．如图1，已知抛物线（a，b为常数，）经过点，，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式： (2)如图2，若点P为第二象限内抛物线上一点，连接、、，当四边形的面积最大时，求点P的坐标及此时四边形的面积： (3)如图3，点Q是抛物线上一点，连接，当时，求点Q的坐标． 12．如图，已知抛物线经过，两点，直线是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的解析式． (2)设是直线上的一个动点，当点到点，的距离之和最短时，求点的坐标． (