2024年中考九年级数学专题训练：特殊四边形问题（二次函数综合）

2024年中考九年级数学专题训练： 特殊四边形问题（二次函数综合） 1．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积，求抛物线平移的距离． 2．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．点P和点Q都在抛物线上，其横坐标分别为m，，过点P作轴交直线于点M，过点Q作轴交直线于点N，连接．           （备用图） (1)求抛物线的解析式； (2)当P，Q两点都在第一象限时，求四边形的面积的最大值； (3)当P，Q，N，M以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值； (4)设此抛物线在点P与点Q之间部分（含点P和点Q）的最大值为n，直接写出n关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围． 3．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于， 两点，，对称轴为直线，顶点为点．    (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)点以每秒个单位长度从→运动，点以每秒1个单位长度从→运动，求面积的最大值，并写出点的坐标； (3)点是线段上一点，且，点是轴上一点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式 (2)①如图，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线上的动点（不与点重合）．设点的横坐标为，过点作轴，垂足为点． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)若点在第三象限，且，求的值； (3)连接，直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求的值． 6．如图，抛物线经过原点，且对称轴是直线，点在抛物线上，点在轴上，直线交抛物线于点、，点在抛物线上，且轴． ​ (1)求抛物线的解析式和点D坐标； (2)求的度数； (3)设点F是线段的中点，点P是线段上一动点，将沿折叠，若与重叠部分的面积是面积的，求的长． 7．如图，抛物线经过点，交轴于另一点（点在点点的左侧），点是该抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方且时，请求出点的横坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； (4)若点在轴上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值． (3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过，两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式： (2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标； (3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是抛物线上一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，直线与抛物线的另一个交点为，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是第四象限内抛物线上一动点，过P点作轴于点M，作的平行线交直线于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，将抛物线向右平移，使得新抛物线经过原点，点E是新抛物线的对称轴上一点，在平面直角坐标内确定一点F，使得以点A，P，E，F为顶点的四边形是矩形，请直接写出所以符合条件的点F的坐标，并选取其中一个点的坐标，写出求解过程． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标． (3)在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面上一点，当以M，N，E，B为