精品解析：北京市海淀区北京交大附中2024届高三下学期3月开学诊断练习数学试题

北京交大附中2023—2024学年度第二学期3月开学诊断练习 高三数学 命题人：马晓伟、李剑 审题人：李运秋 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数为（　　） A. B. C. D. 3. 在数列中，，若为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 7. 已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点．记曲线关于曲线的关联点的个数为a，则（ ） A. B. C. D. 8. “为锐角三角形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数的对称轴方程为，且函数在内恰有个零点，则满足条件的有序实数对（ ） A. 只有2对 B. 只有3对 C. 只有4对 D. 有无数对 10. 已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 展开式的常数项为______. 12. 已知双曲线渐近线方程为，则__________. 13. 如图所示是古希腊数学家阿基米德墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为．若圆柱的体积为，则该球的内接正方体的体积为__________． 14. 已知函数. ①当时，的值域为______； ②若对于任意，，，的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数的取值范围是______. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论： ①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为； ②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值； ③存在点，，使得平面； ④当为靠近点三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题共6小题，共85分．解答写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 在中，已知，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）c的值； （2）的面积． 条件①：； 条件②：． 17. 已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥中： (I)证明：平面平面; (Ⅱ)求二面角余弦值； (Ⅲ)若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围． 18. 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 4 （1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数； （2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望； （3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理． 19. 已知椭圆，与x轴不重合的直线l经过左焦点，且与椭圆G相交于两点，弦的中点为M，直线与椭圆G相交于两点． （1）若直线l的斜率为1，求直线的斜率； （2）是否存在直线l，使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 20 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若存在两条直线、都是曲线的切线，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 21. 数列的各项均为整数，满足：，且，其中． （1）若，写出所有满足条件的数列； （2）求的值； （3）