2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（课件+word）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教B版必修1）新课标

2.4.2　求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 学习目标　1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理.2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解． 知识点一　零点存在的判定及变号零点与不变号零点的概念 思考　函数y＝3x＋3，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值有怎样的变化？ 答案　函数y＝3x＋3的零点是－1，零点左侧的函数值为负数，零点右侧的函数值为正数；函数y＝x2的零点是0，在0两侧的函数值都是正数. 函数y＝x2－2x－3的零点是－1，3，在零点左右两侧的函数值异号． 梳理　1.零点存在的判定 如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)＜0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0. 2．变号零点与不变号零点 如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点． 知识点二　二分法 思考1　从机房到用户有一根光缆线，现测得光缆线上有一个断点，如何尽快找到这个断点？ 答案　从中间(中点)向机房测试，若通，则断点必在中点与用户之间，以此查找，则能较快找到断点的大致位置． 思考2　已知y＝f(x)在[2,3]上连续，且f(2)＞0，f(3)＜0，即在(2,3)上有零点，问如何尽快缩小零点所在区间的范围？ 答案　①取[2,3]的中点2.5. ②计算f(2.5)． ③若f(2.5)＞0，则零点必在(2.5,3)内，否则在(2,2.5)内． 梳理　1.二分法的概念[来源:学&科&网] 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．二分法求函数零点的一般步骤 已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求函数零点的一般步骤为： 第一步　在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中． 第二步　取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝(a0＋b0)．[来源:Zxxk.Com] 计算f(x0)和f(a0)，并判断： (1)如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止； (2)如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0； (3)如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0. 第三步　取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝(a1＋b1)． 计算f(x1)和f(a1)，并判断： (1)如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止； (2)如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1； (3)如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1. … 继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当区间的长度bn－an不大于给定的精确度时，这个区间[an，bn]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止． 1．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(　×　) 2．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　√　) 3．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．(　√　) 4．用二分法最后一定能求出函数零点．(　×　) 类型一　判断零点存在区间 例1　已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表： x －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) －136 －21 6 19 13 －1 －8 －2 4 29 98 [来源:学科网] 则下列判断正确的是________．[来源:Zxxk.Com] ①函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点． ②函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点． ③函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点． ④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点． 答案　①②③[来源:学*科*网] 解析　根据零点存在的条件判断． 反思与感悟　判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得函数值相乘，并进行符号判断． (3)总结：若符