2024年九年级数学中考复习 开放探究综合压轴题 专题训练

2024年春九年级数学中考复习《开放探究综合压轴题》专题训练（附答案） 1．问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值 问题二：已知点在数轴上表示的数分别为 （1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示) （2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离 （3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值． ①；②；③ 2．（1）探究发现 数学活动课上，小明说“若直线向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？” 经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程： 在直线上任取点， 向左平移3个单位得到点 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为． 因为过点， 所以， 所以， 填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为 （2）类比运用 已知直线，求它关于轴对称的直线所对应的函数表达式； （3）拓展运用 将直线绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ． 3．（1）问题发现：如图①，和均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空： ①的度数为________； ②线段AC、CD、CE之间的数量关系为________； （2）拓展探究：如图②，和均为等腰直角三角形，，点D在边BC上，连接CE．请判断的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，在四边形ABCD中，，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．    4．（1）问题发现：如图1，在△ABC中和△DCE中，，，，点D是BC的垂线AF上任意一点．填空： ①的值为 ； ②∠ABE的度数为 ． （2）类比探究：如图2，在△ABC中和△DCE中，，，点D是BC的垂线AF上任意一点．请判断的值及∠ABE的度数，并说明理由； （3） 拓展延伸：在（2）的条件下，若，，请直接写出BE的长．    5．问题提出 （1）如图1，已知三角形，请在边上确定一点，使得的值最小． 问题探究 （2）如图2，在等腰中，，点是边上一动点，分别过点，点作线段所在直线的垂线，垂足为点，若，求线段的取值范围，并求的最大值． 问题解决 （3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点处和边的两个三等分点之间的某点建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为、、．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．       6．在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动． 已知，在等腰三角形纸片ABC中，CA=CB=5，∠ACB=120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D． （1）特例感知 当∠BPC＝110°时，α＝　 　°，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变　 　（填“大”或“小”）． （2）合作交流 当AP等于多少时，△APD≌△BCP，请说明理由． （3）思维拓展 在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由． 7．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相交．⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G．设⊙O的半径为r． 【操作感知】 （1）根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母； 【初步探究】 （2）求证：CD2+CE2＝4r2； （3）当r＝8时，则CD2+CE2+FG2的最大值为　 　； 【深入研究】 （4）直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为　 　． 8．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N. （1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN； （2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2，图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论； （3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长. 9．△ABC中，∠BAC=α°，