1.抽象函数的进阶训练-2024年高考数学二轮复习专题讲义

抽象函数的进阶训练 1、 基础知识温顾 1. 抽象函数的奇偶性 （1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.抽象函数的周期性 判断函数的周期只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题。 对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）. （4）若f（x＋a）＝f（x＋b）,则T＝丨b-a丨 （5）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0） （6）若f（x＋a）＝，则T＝4a（a＞0） （7）若f（x＋2a）＝f（x＋a）-f（x）,则T＝6a（a＞0） 3.抽象函数的对称性 （1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称； （2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称； （3）若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x）或f（a＋x）＝f（a－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. （4）同一函数的对称（括号内相加除以2） y＝f（x）在定义域内恒满足 y＝f（x）的图象的对称中心（对称轴） f（a＋x）＋f（a－x）＝0 点（a，0） f（a＋x）＋f（b－x）＝0 点 f（a＋x）＋f（b－x）＝c 点 f（a＋x）＝f（a－x） 直线x＝a f（a＋x）＝f（b－x） 直线x＝ （5）两个函数的对称（括号内相相等解x） ①函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线x＝对称（由a＋x＝b－x得对称轴方程）； ②函数y＝f（x）与y＝f（2a－x）的图象关于直线x＝a对称； ③函数y＝f（x）与y＝2b－f（－x）的图象关于点（0，b）对称； ④函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b）对称. 二、高考原题再现 1.（2023年新高考卷Ⅰ11题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 2.（2022年新高考卷Ⅰ12题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 3.（2022年新高考卷Ⅱ8题）已知函数的定义