（2024年高考数学专题）数列知识精讲+大题特训

（2024年高考数学专题）数列知识精讲+大题特训 知识精讲 1.数列的有关概念： （1） 数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数。 （2） 通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。如: 。 （3） 递推公式：已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与他的前一项an-1（或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。 如: 。 2．数列的表示方法： （1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, an）孤立点表示。 （3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。 3．数列的分类： 4．数列{an}及前n项和之间的关系: 5．等差数列与等比数列对比小结： 等差数列 等比数列 一、定义 二、公式 1． 2． 1． 2． 三、性质 1．， 称为与的等差中项 2．若（、、、）， 则 3．，，成等差数列 1．， 称为与的等比中项 2．若（、、、），则 3．，，成等比数列 大题特训 1．已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意，求的最小整数值． 2．已知递增的等差数列满足：成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记为数列的前项和，，求数列的前项和. 3．已知数列是首项为2的等比数列，且是和的等差中项． （1）求的通项公式； （2）若数列的公比，设数列满足，求的前2023项和． 4．已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和. 5．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为. （1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为， （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时，. 6．已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 7．已知数列满足，，， （1）令，求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和. 8．已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值． 9．设为给定的正奇数，定义无穷数列：若是数列中的项，则记作. （1）若数列的前6项各不相同，写出的最小值及此时数列的前6项； （2）求证：集合是空集； （3）记集合正奇数，求集合. （若为任意的正奇数，求所有数列的相同元素构成的集合.） 10．数列的前项积为，，数列是公差为的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，若数列的前项和为，求的最大值与最小值． 11．已知等比数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列及数列的前n项和． （3）设，求的前2n项和． 12．已知等差数列的前项和为，，为整数，且. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围. 13．设各项均不为零的数列的前n项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，当最大时，求n的值． 14．已知数列的前项和为满足：. （1）求证：数列是等比数列； （2）令，对任意，是否存在正整数，使都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：因为，① 当时，，② ①-②得， 即． 当时，也符合上式， 所以． （2）解：因为，所以， 令， 所以，（10分） 两式相减得， 所以． 因为，所以， 所以，故的最小整数值为1． 2．【答案】（1）解：设. 由题意得解得或（舍去） （2）解：由（1）可得， 则，① 可得：，② ①-②可得：， 设.③ ，④ ③-④可得：. 3．【答案】（1）解： 数列 是等比数列且 是 和 的等差中项 即： 整理得 解得： 或 （舍去） 当 时， . 当 时， . ∴ 或. （2）解：由(1) 得若 . 4．【答案】（1）解：由题意得，① 当时，，② 由①-②得，即， 又时，，满足上式， 综上，. （2）解：由（1）可得， 故， 设数列的前项和为， 所以 . 5．【答案】（1）解：设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得 （2）解：（i）设“第天选择米饭套餐”， 则，，，， 由全概率公