专题23 将军饮马模型-2024年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

将军饮马模型 一、知识导航 考情分析：通过全国中考试题分析来看，将军饮马的模型多出现在中考二次函数压轴题第二问中出现，难度不大，但需要注意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已知定点中往往有一个与x轴的交点. 考法主要有以下几种：1.求取最小值时动点坐标2.求最小值.3.求三角形或四边形周长最小值. 模型一：两定点一动点 如图，A,B为定点，P为l上动点，求AP+BP最小值 解析：作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB 当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短） 模型二：一定点两动点 如图，P为定点，M、N分别为OA和OB上的动点，求△PMN周长最小值 解析：分别作点P关于OA、OB的对称点，则△PMN的周长为PM+MN+NP=P'M+MN+NP''， 当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最小． 模型三：两定点两动点 如图，P、Q为两定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求四边形PQMN的最小值. 解析：∵PQ是条定线段， ∴只需考虑PM+MN+NQ最小值即可， 分别作点P、Q关于OA、OB对称， PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ'， 当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。 模型四：一定点两动点 如图，P为定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求PM+MN最小值。 解析：作点P关于OA对称的点P'， PM+MN=P'M+MN， 过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N， 得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 模型五：将军饮马有距离 例一、如图，A、D为定点，B、C为直线l上两动点，BC为定值，求AB+BC+CD最小值？ 解析：BC为定值，只需求AB+CD最小即可； 平移AB至CE,则变成求CE+CD的最小值，基本将军饮马的模型 例二、如图，A、D为定点，B、C为直线l1 、l2上两动点，BC⊥l1，求AB+BC+CD最小值？ 解析：BC为定值，只需求AB+CD最小即可； 平移CD至BE，则变成求AB+BE最小，基本将军饮马. 二、典例精析 例一：如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点、、三点． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）； 【分析】（1）将点、的坐标代入二次函数表达式得：，即可求解； （2）连接、交对称轴于点，此时的值为最小，即可求解； 【解答】解：（1）将点、的坐标代入二次函数表达式得：， 则，解得：， 抛物线的表达式为：，函数的对称轴为：，顶点坐标为； （2）连接、交对称轴于点，此时的值为最小， 将点、的坐标代入一次函数表达式：得：， 解得：， 直线的表达式为：， 当时，， 故点； 例二：如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过点、，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值； 【分析】（1）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，即可求解； 【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、， 将点、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故函数的表达式为：，令，则或3，故点； （2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小， 函数顶点坐标为，点， 将、的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：， 当时，， 故点，， 则的最小值为； 三、中考真题演练 1．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．    (1)求点M的坐标及抛物线的解析式； (4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______． 3．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； 4．（2023·山东枣庄