专题21 阿氏圆模型-2024年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

阿氏圆模型 一、知识导航 所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆． 如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆． 下给出证明 法一：首先了解两个定理 （1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则． 证明：，，即 （2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则． 证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即． 接下来开始证明步骤： 如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点； 作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点； 又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆． 法二：建系 不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即： 解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线． 除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质： （1）． 应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O． （2）△OBP∽△OPA，即，变形为． 应用：根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置． （3）． 应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA：PB的值． 二、典例精析 1.如图，在△ABC中，AB=4,AC=2，点D为AB边上一点，当AD= 时，△ACD∽△ABC. 解：若△ACD∽△ABC则有即 ∵AB=4,AC=2 ∴ 故答案为1. 2.如图，点P是半径为2的上一动点，点A、B为外的定点，连接PA、PB，点B与圆心O的距离为4.要使的值最小，如何确定点P，并说明理由. 【思路分析】构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求. 【详解】连接OB，OP，在OB上截取OC=1，连接AC交于点 ,连接PC. ( 根据 阿氏圆可得 即 ) 当点A、P、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与重合时，PA+的值最小. 3.如图，平面直角坐标系中，A（4,0），B（0,3），点E在以原点O为圆心，2为半径的圆上运动，求的最小值. 【思路分析】在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值. 【详解】如图，在y轴上取一点M ，连接OE，EM，AM，则OE=2，OB=3，OM= ∴ 又∵ ∴ ∴,即 ∴ 当A、E、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长. 在中， ∴当E为线段AM与的交点时，有最小值为. 4．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点E的坐标为（2,0），将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为α，连接、，求的最小值. 【思路分析】由旋转可知点的运动轨迹为以原点O为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可. 【详解】解：∵抛物线的解析式为 ∴ ∵点E的坐标为（2,0） ∴点的运动轨迹为以原点O为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧. 如图在y轴上取一点，连接，则，， ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ 当三点共线时，的值最小，最小值为BM的长. ∵ ∴当为BM与圆弧的交点时，有最小值为 . 三、中考真题演练 1．（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 2．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． (1)求a的值和直线AB的函数表达式： (2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值． (3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值． 3．（2019·山东·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一