专题16 特殊角问题-2024年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

特殊角问题 一、知识导航 一、什么是特殊角？ 说到特殊角我们很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事实上，之所以以上角能称为特殊角，关键在于这些角的三角函数值特殊，比如同为整十，为什么我们会将60°称为特殊角，而50°便不是，原因很简单，，而我们并不知道50°的任一三角函数值． 因此角度特殊不在于这个角是多少度，而在于其三角函数值是否有特殊值，所以除了常见的30°、45°、60°，我们可以扩充一下特殊角的范围． 以及从最后一张图中可得二倍角或者半角的三角函数构造： 比如求tan15°： tan22.5°： 一般半角三角函数值求法： 一般二倍角函数值求法： 二、特殊角在坐标系中的意义 当我们初次接触到平面直角坐标系时，我们就认识了一、三象限角平分线及二、四象限角平分线，即直线y=x和直线y=-x，在一次函数中我们知道，若两直线平行，则k相等． 综合以上两点，可得：对于直线y=x+m或直线y=-x+m，与x轴夹角为45°． 并且我们还可通过画图与计算得知： 即“y=kx+b的k”与“直线和x轴的夹角”存在某种固定的联系． 关系就是：（是直线与x轴的夹角）． 不装了，我摊牌了~ 三、坐标系中特殊角的处理 在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手： 思路1：构造三垂直相似（或全等）； 思路2：通过三角函数值化“角度条件”为“直线k”． 二、典例精析 引例1：如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转45°得到直线CD，求CD解析式． 【分析】 思路1：构造三垂直相似（全等） 在坐标系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直全等确定图形． 在直线AB上取一点O，过点O作OP⊥AB交CD于P点，分别过M、P向x轴作垂线，垂足为E、F点． 易证△OEM≌△PFO， 故PF=OE=2，OF=ME=1，故P点坐标为（-1，2）， 结合P、M坐标可解直线CD解析式：． 构造等腰直角的方式也不止这一种，也可过点O作CD的垂线， 但直角顶点未知的情况计算略难于直角顶点已知的情况，故虽可以做但并不推荐． 思路2：利用特殊角的三角函数值． 过M点作MN∥x轴，则，， 考虑到直线CD的增减性为y随着x的增大而减小，故， 所以直线CD：， 化简得：． 引例2：如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转得到直线CD，且，求直线CD解析式． 【分析】 在直线AB上再选取点O构造三垂直相似，如下图所示， 易证△PFO∽△OEM，且相似比， 即，， 故P点坐标为， 结合P、M点坐标可解直线CD解析式：． 本题并不容易从三角函数值本身下手，原因在于角度并不属于我们所讨论的特殊角范围之内，简便的做法只存在于特殊的角中． 认识特殊角，了解特殊角，运用特殊角，就能在复杂问题中找到简便的求法． 三、中考真题演练 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，抛物线经过坐标原点，且顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与轴正半轴的交点为，点位于抛物线上且在轴下方，连接、，若，求点的坐标． 2．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； 3．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：                                       备用图 (1)求二次函数的表达式； (2)若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点（在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值； 4．（2023·山东泰安·中考真题）如图1，二次函数的图象经过点．    (1)求二次函数的表达式； (3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由． 5．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； 6．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．    (1)求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若