专题15 二倍角、半角问题-2024年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

二倍角、半角问题 一、知识导航 既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下： 思路1：构造半角三角函数． 构造二倍角三角函数： 思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和． 二、典例精析 例一、如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标． 【分析】 （1）抛物线：； （2）思路：转化为等角 本题中的∠BAC和∠ABD是内错角，若是构造∠ABD=∠BAC，作平行线即可． 两倍角亦可以作平行构造出， 过B作x轴的平行线， 作BA关于平行线对称的直线，与抛物线交点即为D点． 考虑到，故， 可得直线BD解析式为：， 与抛物线联立方程：，解得：，， 故D点坐标为（2，3）． 例二、 如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒． 问题：当t=1时，抛物线经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】 思路：三角函数构造相等角 t=1时，P点坐标为（1，0），Q点坐标为（3，2）， 代入抛物线解析式，可求得抛物线：， 故顶点K的坐标为． 考虑要构造，过点K作KH⊥MQ交MQ于H点，则． 根据图形可求得， 故若，则， 故， 分别解得直线DQ解析式为或， 与抛物线联立方程： ，解得：，， 则对应D点坐标为； ，解得：，， 则对应D点坐标为． 综上所述，D点坐标为或． 三、中考真题演练 1．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：      (1)当点M在上时，求t的值； (2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值； (3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求，的值； (2)如图①，是第二象限抛物线上的一个动点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，当时，连接交轴于点，点在轴负半轴上，连接，点在上，连接，点在线段上（点不与点重合），过点作的垂线与过点且平行于的直线交于点，为的延长线上一点，连接，，使，是轴上一点，且在点的右侧，，过点作，交的延长线于点，点在上，连接，使，若，求直线的解析式． 3．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点． (1)请直接写出，的值； (2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为． ①求的最大值； ②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标． 4．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．         (1)直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______； (2)如图1，当时，求点P的坐标； 5．（2022·湖北武汉·模拟预测）抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴的正半轴交于C点，的面积为6．    (1)直接写出点A、B的坐标为 、 ；抛物线的解析式为 (3)如图2，平行于的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，恰好平分，求P点坐标． 6．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知直线经过定点M，以M为顶点的抛物线与x轴交于A，B两点（A左B右）．    (1)点M的坐标是 ， ， （直接写出结果）； (2)如图1，若直线l与抛物线交于另一点C，且恰好平分，求k的值； 7．（2022·广东汕头·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (3)点M在抛物线上，当时，求点M的横坐标． 8．（2022·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴