专题14 等角存在性问题-2024年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

等角存在性问题 一、知识导航 除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键． 回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下： （1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线：角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角形：等边对等角； （4）全等（相似）三角形：对应角相等； （5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等； （6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角． 想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角． 二、典例精析 如图，已知抛物线过点A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C和点关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且，求点P的横坐标． 【分析】 （1）抛物线：； （2）由题意得：坐标为（2，-4）， 考虑到A、C、三点坐标均已知，故可求的三角函数值． 思路1：构造直角三角形 过点作⊥AC交AC于H点，不难求得H点坐标为（1，3）， 故，， ∴，则． 转化“”为“”，即． ①当时，设PA解析式为， 将A（4，0）代入，得：， 联立方程：，解得：，， 故坐标为； ②当时，设PA解析式为， 将A（4，0）代入，得：， 联立方程：，解得：，， 故坐标为． 综上所述，P点坐标为或． 思路2：发现特殊角． 如图构造等腰直角三角形AMC，易解M点坐标为（4，-4）， 故△AMC是等腰直角三角形．∠MAC=45°， 考虑，可知， 下同思路1求解P点坐标． 三、中考真题演练 1．（2023·湖南常德·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．    (1)求二次函数的表达式； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标． 2．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围． 3．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．    (1)请求出抛物线的表达式． (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．    (1)如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． (2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由． 5．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC． (1)求抛物线的表达式； (3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标． 6．（2022·四川达州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； 7．（2022·湖北黄石·模拟预测）如图：已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且．    (1)求抛物线的解析式 (3)P为抛物线上一点且，求点P的坐标． 8．（2022·湖南株洲·二模）如图1，已知抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．    (1)若，求的长度； (2)若，，P是对称轴右侧抛物线上的点，当时，求P点的坐标； 9.（2022·山东济宁·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为，C点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (3)图2中，点C和点关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且，求M点的横坐标． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等角存在性问题 一、知识导航 除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键． 回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下： （1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线：角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角