与球有关的切与接问题专题练-2024届高考数学一轮基础知识复习

与球有关的切与接问题 一、单选题 1．已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上､下底面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上､下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球.若一个圆柱的表面积为，内切球的表面积为，外接球的表面积为，则为（    ） A． B． C． D． 3．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，为球的直径，，则这个三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰梯形中，,为中点.将与分别沿、折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 5．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正四棱台中，，，若半径为的球与该正四棱台的各个面均相切，该球的表面积（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球，圆锥是三棱柱的外接圆锥，且三棱柱的一个底面在该圆锥的底面上，则该外接圆锥的轴截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为2，若它的内切球的表面积为，外接球表面积为，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 10．如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知，则该组合体的体积等于（    ） A． B． C． D． 11．在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．在三棱锥中，，平面平面ABC，，点Q为三棱锥外接球O上一动点，且点Q到平面PAC的距离的最大值为，则球O的体积为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 13．在矩形中，，，平面，，四棱锥的外接球的表面积为 ． 14．在平面四边形ABCD中， ，沿BD将△ABD折起，使得△ABC与△BAD全等，则四面体ABCD外接球球心到平面ABC的距离为 . 15．正四面体的所有棱长均为12，球是其外接球，分别是与的重心，则球截直线所得的弦长为 ． 16．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 . 17．正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足，记四面体ABCD的内切球为球，四面体PBCD的外接球为球，则 ． 18．已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 . 三、解答题 19．将个半径为的球和个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放个较小的球，个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离.    20．如图，正四棱锥中，是这个正四棱锥的高，是斜高，且，． (1)求这个四棱锥的全面积 (2)分别求出该几何体外接球与内切球的半径． 参考答案： 1．C 正方体性质知：内切球的直径等于棱长， ∴由题意，，得， ∴正方体表面积. 2．C 设圆柱的母线长为，内切球的半径为，外接球的半径为， 则其轴截面如图所示，则，， 则， 所以.    3．C 解：如图所示，由条件为直角三角形，则斜边的中点为的外接圆的圆心， 连接得平面，， ，， 平面， 三棱锥的体积为． 4．C 解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故其外接球与棱长为的正方体的外接球一直，又正方体外接球半径为 故外接球的体积为 5．A 如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和. 易得，，， 由， 可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即小球的最大半径为. 所以小球的表面积最大值为. 6．C 如图，作该正棱台的轴截面.    其中E，F，M，N