专题05 三角形中的证明与计算问题-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（江苏专用）

专题05三角形中的证明与计算问题（原卷版） 目录 1 题型01 三角形中的角度计算 1 题型02 三角形的全等证明与计算问题 3 题型03 三角形相似的证明与计算问题 7 题型04直角三角形的折叠问题 11 13 题型01 三角形中的角度计算 【知识要点与解题策略】 1.三角形内角和定理：三角形内角和180°；推论：直角三角形两锐角互余。 2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和； 3.平行线的性质： 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 4.有关角度计算的常考模型 8字模型 A 字模型 飞镖模型 双内角平分线模型 双外角平分线模型 一内一外角平分线模型 【典例分析】 例题．（2023·江西·模拟预测）如图，中，，分别平分，以下结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·浙江杭州·二模）如图，O为等腰三角形的外心，，连接，记，，则满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 第1题 第2题 2．如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，的度数是（    ） A． B． C． D． 第3题 第4题 4．如图，已知，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型02 三角形的全等证明与计算问题 【知识要点与解题策略】 模型 基本图形 结论 一线三等角模型 旋转模型（手拉手模型） 倍长中线模型 角含半角模型 【典例分析】 例题．如图，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为，，若，，求的长． 【变式训练】 1．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 2．（2019·贵州安顺·中考真题）（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断． ，，之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 3．（2021·内蒙古通辽·中考真题）已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，连接，，求证：； （2）将绕点O顺时针旋转． ①如图2，当点M恰好在边上时，求证：； ②当点A，M，N在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 4．（2022·北京·一模）如图，在三角形中，，，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F． (1)依题意补全图形，写出____________° (2)求和的度数； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 题型03 三角形相似的证明与计算问题 【知识要点与解题策略】 模型 基本图形 结论 A字型 斜A字型 8字型 斜8字型 手拉手模型 一线三等角模型 【典例分析】 例题．（1）如图，已知和均为直角三角形， 【发现问题】①如图1，连接，若，则的长为______． 【探索问题】②如图2，若，求的长． 【解决问题】（2）如图3，在凸四边形中，，过作，交延长线于点．那么的面积是否定值若为定值，请求出这个值，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 2．（2024·山西朔州·一模）综合与实践 在中，为边的中点，以为顶点作． (1)如图1，当射线经过点时，交边于点，不添加辅助线，则图①中与相似的三角形有______．（填序号） ①    ②    ③    ④ (2)如图2，将绕点沿逆时针方向旋转，分别交线段于点，（点与点不重合），求证：． (3)在图2中，若，当的面