重难点02相似三角形四种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）

重难点02相似三角形四种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练） 模型一：“8”字模型 模型二：“A”字模型 模型三：“手拉手”旋转型 模型四：“一线三等角”模型 模型一：“8”字模型 模型展示： (1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔＝＝. (2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔＝＝. 图1 　 　　 图2 【例1】．（2023•蜀山区校级模拟）在中，，，是上一点（不与点，重合），连接，过点作于点，连接并延长，交于点． （1）如图1，当时， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，若是的中点，求的值（用含的代数式表示）． 【变式】已知：如图，AD·AB＝AF·AC，求证：△DEB∽△FEC. 模型二：“A”字模型 模型展示： (1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝. (2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝. (3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔＝＝. 图1　 　图2 　　图3 【例2】．（2022•合肥二模）已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的面积； （3）若，求的值． 【变式1】如图，已知BE，CD是△ABC的两条高，连接DE，求证：△ADE∽△ACB. 【变式2】如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝. 模型三：“手拉手”旋转型 模型展示： 如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE. 【例3】（2023•亳州三模）如图1，在和中，，． （1）①求证：； ②若，试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，旋转，使点落在边上，若，．求证：． 【变式】如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证： (1)△ABD∽△CBE； (2)△ABC∽△DBE. 模型四：“一线三等角”模型 模型展示： (1)“三垂直”模型 如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型 如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 【例4】．（2022•砀山县模拟）如图1，在四边形中，是对角线，且．是边上一动点，连接，，交于点，其中，． （1）求证：； （2）若，． ①如图2，若，求的值； ②如图3，若，求的面积． 【变式1】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE. (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上． (1)求证：△BDE∽△CEF； (2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC. （建议用时：40分钟） 一．选择题（共5小题） 1．（2023•裕安区校级二模）如图，在中，延长至点，使，连接交于点，则的值是　　 A． B． C． D． 2．（2022•砀山县模拟）如图，在菱形中，，为的中点，交于点，且，则的长为　　 A． B． C． D． 3．（2023•合肥一模）已知：中，是中线，点在上，且，．则的值为　　 A． B． C． D． 4．（2023•合肥模拟）如图，为半圆的直径，点为圆心，点是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点，连接，若点为的黄金分割点，则的值为　　 A． B． C． D． 5．（2022•瑶海区三模）如图，中，，，且△，连接，将沿方向平移至，连接，若，则的长为　　 A．1 B． C． D．2 二．填空题（共7小题） 6．（2022•宣州区校级一模）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，，则的周长为　 　． 7．（2023•亳州模拟）如图，在中，，，，点是边上的一点，是线段的垂直平分线且分别交、于点、． （1）若，则　　； （2）若经过的某一顶点，则　　． 8．（2022•安徽模拟）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片和如图放置（其中，，．、分别与边相交于、两点．请完成下列探究： （1）若，则的值为 　　； （2）过作于，若，则的值为 　　． 9．（2023•瑶海区二模）中，，平分，点为中点，，． （1）写出一对相似三角形 　　； （2）的长为 　　． 10．（2020•大通区模拟）如图，在中，为边上的中点，，交于，交延长线于．若，，则的长为　　． 11．（2022•庐阳区二模）已知在四