专题05 实数压轴题真题分类-2023-2024学年七年级数学下册重难点题型分类高分必刷题（人教版）

《实数》压轴题真题分类（原卷版） 专题简介：本份资料专攻《实数》这一章的压轴题，所选题目源自长沙各名校月考、期末试题中的压轴题 中代表性强的经典好题，分成两类题型：根号中的整数部分和小数部分、实数中的定义新运算类压轴题。 题型一：根号中的整数部分和小数部分 1．（雅礼）【阅读材料】 ∵，即，∴． ∴的整数部分为1．∴的小数部分为． 【解决问题】 (1)填空：的整数部分是_________；小数部分是_________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． 2.（青竹湖）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 又例如：∵，即，∵的整数部分为，小数部分为.请解答： （1）的整数部分是________，小数部分是________. （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值: （3）已知：，其中是整数，且，求的相反数. 3．（中雅）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答：（1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 4.(博才)根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的 积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若，其中x 、y为有理数，是无理数， 则. 证：∵ ，x为有理数∴是有理数∵ y为有理数，是无理数 ∴ ∴ ∴ （1）若，其中x、y为有理数，则x=_______， y=_______ （2）若，其中x 、y 、a 、b为有理数，是无理数，求证； （3）已知的整数部分为a，小数部分为b，x、y为有理数x 、y 、a 、b满足，求x 、y的值. 5．（青竹湖）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ；的“青一区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 题型二：实数中的定义新运算类压轴题 6．（湘郡培粹）先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题． （1）已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值． 解：因为 所以 所以     解得 （2）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 7.(博才)我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零。由此可得：如果 ，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0 .运用上述知识，解决下列问题： (1)如果 ，其中a、b为有理数，那么a=___ ，b=___ ； (2)如果，其中a、b为有理数，求a+2b的值。 8.（长郡）阅读下列解题过程： (1)===-=-2； (2)==-； 请回答下列问题： (1)观察上面解题过程，请直接写出的结果为__________. (2)利用上面所提供的解法，请化简： +++……++ （3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由． 9．（中雅）若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 10．（师大）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3． (1)仿照以上方法计算：=_______；=_____． (2)若，写出满足题意的x的整数值_____________． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1． (3)对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程． (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 11．（雅礼洋湖）对于整数n，定义[ ]为不大于的最大整数，例如：[]＝1，[]＝2，[]＝2． (1)直接写出[]的值； (2)显然，当[]＝1时，n＝1，2或