大题强化及变式训练（12）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（12） 1．如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 变式：如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，、分别为、上的点，且. （1）证明：平面； （2）若平面，为的中点，，，求二面角的正切值. 2．已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； 变式：已知，函数. （1）求的单调区间. （2）讨论方程的根的个数. 3．已知各项均不为0的数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若对于任意成立，求实数的取值范围． 变式：已知数列前n项和为，，且． (1)求数列通项； (2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围． 4．某单位进行招聘面试，已知参加面试的名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场. （1）求面试号码为2的学生来自A校的概率. （2）若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率. （3）记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是的数学期望，证明：. 变式：已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验. （1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：. 5．已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点． （1）若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标； （2）证明：的外接圆过定点； （3）求面积的最小值． 变式：已知抛物线为抛物线上两点，处的切线交于点，过点作抛物线的割线交抛物线于两点，为的中点. （1）若点在抛物线的准线上， （i）求直线的方程（用含的式子表示）； （ii）求面积的取值范围. （2）若直线交抛物线于另一点，试判断并证明直线与的位置关系. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届大题强化训练及变式训练（12） 1．如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）证明：取的中点，连接，由题意可证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【解析】（1）证明：取的中点，连接. 因为为圆弧的两个三等分点，所以. 因为分别为的中点，所以， 则，从而四边形为平行四边形， 故.因为平面平面，所以平面. （1）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以，， 则. 设平面的法向量为， 则令，得. 设平面的法向量为， 则令，得. 设平面与平面所成锐二面角为， 则. 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 变式：如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，、分别为、上的点，且. （1）证明：平面； （2）若平面，为的中点，，，求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）在上取一点，使得，连接、，证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【解析】（1）证明：如图，在上取一点，使得，连接、， 因为，且是平行四边形， 所以，故， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，则且， 所以四边形是平行四边形，故， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）当点为的中点，平