大题强化及变式训练（14）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（14） 1．为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1． （1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望． 变式：某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机，在投放市场前对100架新能源无人飞机进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： （1）估计这100架新能源无人飞机单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款新能源无人飞机的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为和的近似值），现任取一架新能源无人飞机，求它的单次最大续航里程的概率；（参考数据：若随机变量，则） （3）该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越A型､卓越型和卓越型，统计分析可知卓越A型､卓越型和卓越型的分布比例为，研发中心在投放市场前决定分别按卓越A型､卓越型和卓越型的分布比例分层随机共抽取6架，然后再从这6架中随机抽取3架进行综合性能测试，记随机变量是综合性能测试的3架中卓越A型的架数，求随机变量的分布列和数学期望. 2．如图，在平面凸四边形中，. （1）求； （2）若，，求. 变式：如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.    (1)求的面积； (2)求的值及的长度. 3．已知函数， （1）若在定义域内是减函数，求a的取值范围； （2）当时，求的极值点． 变式：已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）若有三个极值点，求正数的取值范围. 4．已知椭圆的离心率为，左右两顶点分别为，过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时，点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点关于原点的对称点为，设直线与直线相交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由. 变式：设异面直线与所成的角为，公垂线段为，且，、分别直线m、n上的动点，且，为线段中点，建立适当的平面直角坐标系可确定点的轨迹方程． （1）请根据自己建立的平面直角坐标系求出． （2）为的任意内接三角形，点为的外心，若直线的斜率存在，分别为，，，，证明：为定值． 5．若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”. （1）判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由； （2）若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式； （3）若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明. 变式：定义首项为1且公比为正数的等比数列为“－数列”. (1)已知等比数列满足：，求证:数列为“－数列”； (2)已知数列{bn}满足:，其中为数列的前项和． ①求数列的通项公式； ②设为正整数，若存在“－数列” ，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届大题强化训练及变式训练（14） 1．为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1． （1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】（1）67（分钟） （2）分布列见解析；期望为1 【分析】（1）根据平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解； （2）依题意求出随机变量的分布列，并利用数学期望公式求解. 【解析】（1