大题强化及变式训练（13）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（13） 1．如图所示，已知圆是的外接圆，圆的直径.设，，，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题， ①； ②； ③的面积为.选择条件______. (1)求的值； (2)求的周长的取值范围. 变式：已知条件：①；②；③. 从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：在中，角，，所对的边分别为，，，满足：___________. (1)求角的大小； (2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 2．如图，将边长为2的菱形沿其对角线对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边所在平面的两侧，且，．设E是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 变式：已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且．现将沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥． （1）若点F在线段AP上，且平面PBC，求的值； （2）若，求锐二面角的余弦值． 3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，随机移动次，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，次移动结束后，质点到达的位置的数字记为. （1）若，求; （2）若，求的分布列和的值. 变式：一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为，试探讨下列问题： （1）若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率； （2）记为次游走中恰有2次向右游走的概率，令.记为不超过次游走的情况下，向右游走2次后停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到次时也停止游走），此时一共游走的次数，的数学期望为.请比较与的大小，并说明理由. 4．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：． 变式：已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的零点分别为，且，证明：． 5．已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且． （1）求的方程； （2）设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标． 变式：已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于两点（不同于点），直线分别交轴于两点. （1）求的取值范围； （2）记的面积为的面积为，当时，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届大题强化训练及变式训练（13） 1．如图所示，已知圆是的外接圆，圆的直径.设，，，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题， ①； ②； ③的面积为.选择条件______. (1)求的值； (2)求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）若选①，因为， 由正弦定理可得， 显然，所以， 即，所以，所以，又，所以， 因为外接圆的半径，所以. 若选②，因为， 所以， 即， 所以， 所以，所以，又，所以， 因为外接圆的半径，所以. 若选③，的面积为，则， 由余弦定理可得，所以，所以，又，所以， 因为外接圆的半径，所以. （2）由题知，设，， 由正弦定理， 所以，， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以 变式：已知条件：①；②；③. 从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：在中，角，，所对的边分别为，，，满足：___________. (1)求角的大小； (2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 【答案】(1)条件选择见解析，；(2). 【解析】（1）选择条件①，， 在中，由余弦定理得， 整理得，则，又， 所以. 选择条件②，， 于是， 在中，由正弦定理得，， 因为，则，即， 因为，因此，即，又， 所以. 选择条件③，， 在中，因为，即， 则，又，即有，则， 所以. （2）由（1）知，，有， 而与的平分线交于点，即有，于是， 设，则，且， 在中，由正弦定理得，， 所以，， 所以的周长为 ，由，得， 则当，即时，的周长取得最大值， 所以周长的最大值为. 2．如图，将边长为2的菱形沿其对角线对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边所在平面的两侧，且，．设E是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）取的中点O，根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面． （2）以为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面和得到法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解析】（1）证明：取的中点O，连接、，如图所示． 因为四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三