专题03 第六章 两个计数原理及排列组合（10考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-【期中大串讲】2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第三册）

清单03 第六章 两个计数原理及排列组合 （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【考点题型一】两个计数原理综合 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 【例1】（2023高二下·湖北襄阳·期中）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 【例2】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）有两排座位，前排10个座位，后排10个座位，现安排2人就座，规定前排中间的两个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是 【答案】276 【分析】分情况讨论，结合分类计数原理可得答案. 【详解】分为下列三类情况： 第一类：两人分别坐前后两排，共有种； 第二类：两人都坐后排，共有种； 第三类：两人都坐前排，共有三种情况，分坐左右4个座位有32种；都坐左边4个座位有6种；都坐右边4个座位也有6种；共有种； 由分类加法计数原理可得，共有种. 故答案为：276 【变式1-1】.（2024高二下·全国·专题练习）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（    ） A．16个 B．12个 C．9个 D．8个 【答案】D 【分析】利用分类计数原理分类讨论计算即可. 【详解】比2000大，故千位为2，3，4， 若千位为2，则个位为4，有（个）符合题意的四位数； 若千位为3，则个位为2或4，有（个）符合题意的四位数； 若千位为4，则个位为2，有（个）符合题意的四位数． 根据分类加法计数原理得，一共有（个）符合题意的四位数． 故选:D． 【变式1-2】.（22-23高二下·山东菏泽·阶段练习）实数2160所有正因数有 个． 【答案】40 【分析】先分析出，从而利用分步乘法计数原理进行求解. 【详解】，故2160的正因数可表示为， 其中共5种情况，共4种情况，共2种情况， 由分步乘法计数原理可得，2160所有正因数有个. 故答案为：40 【考点题型二】排列数计算 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 【例1】（多选）（22-23高二下·新疆喀什·阶段练习）下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】计算出排列数和组合数后判断. 【详解】，，，A正确； ，B错； ，，C正确； ，，D正确． 故选：ACD． 【例2】（22-23高二上·全国·课时练习）解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【答案】(1)n=5 (2)x=8 【分析】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果； （2）先利用排列数公式得到 ，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果. 【详解】（1）因为=2， 由，解得， 由原式可得，解得或或． 又因为，所以． （2）因为<6， 由，解得且， 由原不等式可得， 化简可得，解得， 又且，所以． 【变式2-1】.（22-23高二下·甘肃武威·阶段练习）解下列方程. (1)； (2). 【答案】(1)5 (2)或. 【分析】（1）根据排列数与组合数的计算公式，化简方程，可得答案； （2）根据组合数的性质，化简方程，可得方程. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得. （2）因为，所以， 即，…，，所以， 所以或， 解得或. 【变式2-2】.（22-23高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）解方程： （2）解不等式； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用组合数的性质及计算公式解方程作答. （2）利用排列数公式化简不等式，再求解不等式作答. 【详解】（1）由组合数性质及，得， 而，则， 因此，即，解得， 所以原方程的解为. （2）由，得且，解得， 又，化简得，解得，因此， 所以不等式的解为. 【考点题型三】捆绑法和插空法 相邻捆绑，不相邻插空 【例1】（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩