2024年中考数学二轮复习——手拉手模型—旋转型相似 讲义 2023—2024学年人教版 数学九年级下册

2024年中考数学二轮复习——手拉手模型—旋转型相似 例1．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值． 问题背景 证明：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△ABD∽△ACE； 尝试应用 解：如图1，连接EC， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°， ∴△ABC∽△ADE， 由（1）知△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴， ∴3． ∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF∽△ECF， ∴3． 例2．如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE． （1）①求证：△ABC∽△ADE； ②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由； （2）如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求证：CE⊥BC． （1）①证明：∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE， ∴△ABD∽△ACE， ∴， 即， 又∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE； ②解：△ADE是等腰三角形，理由如下： 由①知，， ∵AB＝AC， ∴AD＝AE， ∴△ADE是等腰三角形； （2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE， ∴△BAC∽△DAE， ∴， ∴， 又∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴∠B＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝90°， ∴CE⊥BC． 例3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AG于点M，得到△APM． （1）【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为　CMBP　； （2）【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长． 解：（1）当n＝1时，AB＝BC， ∵∠ABC＝90°， ∴， ∵P为AB的中点， ∴， ∴AP＝BPAB， ∵PM⊥AB， ∴∠APM＝90°， ∴∠APM＝∠ABC， ∴PM∥BC， ∴△APM∽△ABC， ∴， ∴ACAB，AMAPAB， ∴CM＝AC﹣AMABABAB， ∴， ∴CMBP， 故答案为：CMBP； （2）CMBP的数量关系不变，理由如下： 当n＝2时，AB＝2BC， 则， ∴BCAB，PMAP， 由勾股定理可得：ACAB， AMAP， ∴， ∴ACAB，AMAP， ∴CM＝AC﹣AM（AB﹣AP）BP， 由旋转得：∠CAB＝∠MAP， 即∠BAP+∠CAP＝∠CAM+∠CAP， ∴∠BAP＝∠CAM， ∴△ABP∽△ACM， ∴， ∴CMBP； （3）∵AB＝4，AP＝2， ∴BC＝2，PM＝1， 由勾股定理可得：AC＝2，AM， ∵△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线， ∴∠APM＝90°，PM＝1， ∠APB＝180°﹣90°＝90°， ∴BP2， 当△APM旋转至直线AB上方时，如图， 则BM＝BP+PM＝21； 当△APM旋转至直线AB下方时，如图， 则BM＝BP﹣PM＝21； 综上所述，线段BM的长为21或21． 例4．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ，∠ABC与∠ACQ的数量关系是 　 　； （2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ，判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF对角线的交点，连接CQ．若正方形APEF的边长为10，，求正方形ADBC的边长． 解：（1）∵△ABC和△APQ都是等边三角形， ∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°， ∴∠BAP＝∠CAQ， 在△BAP和△CAQ中，