第25章 二次函数 单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级下册

第25章 二次函数 教学目标 　　1. 理解二次函数的概念，掌握三种解析式形式，会用待定系数法求函数解析式。 　　2. 掌握二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值），能判断及其代数式符号。 　　3. 理解二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系，能结合图象解决相关综合问题。 　　4. 掌握抛物线的平移与对称变换，会求限定自变量区间下二次函数的最值。 　　5. 会建立二次函数模型解决利润、面积、抛物线轨迹等实际问题，体会数形结合与建模思想。 教学重难点 　　1. 重点： 　　（1）二次函数的图象性质，求对称轴、顶点及指定区间的最值； 　　（2）待定系数法求二次函数三种形式的解析式； 　　（3）二次函数与一元二次方程、不等式的数形结合应用； 　　（4）二次函数的实际应用（利润、面积、抛物线形模型）。 　　2. 难点： 　　（1）自变量受限制时二次函数最值的求解； 　　（2）由图象判断衍生代数式的符号； 　　（3）把实际情境抽象转化为二次函数数学模型； 　　（4）二次函数与几何的综合问题及存在性问题的分类讨论。 知识点01 二次函数的概念 　　1. 定义：形如（为常数，）的函数叫作二次函数，是自变量，是二次项系数、是一次项系数、是常数项。 　　2. 判断二次函数必须同时满足三个条件：解析式是整式；化简后自变量的最高次数为；二次项系数。 　　3. 自变量的取值范围：一般情况下为全体实数；实际问题中还要使实际问题有意义。 　　4. 二次函数解析式的三种形式如下表： 形式 表达式 适用条件 一般式 已知抛物线上任意三个点的坐标 顶点式 已知顶点、对称轴或最大（小）值 交点式 已知抛物线与轴的两个交点、 　　5. 三种形式可以互相转化，其中交点式只有在抛物线与轴有交点时才可写出。 知识点02 二次函数图象的画法与平移 　　1. 画图的一般步骤：列表（以对称轴为中心对称选取值）→描点→用平滑曲线顺次连线。 　　2. 图象是抛物线，越大开口越窄，越小开口越宽。 　　3. 平移规律："左加右减、上加下减"，即加减括号内常数、函数值加减常数项；平移前后不变，只改变顶点位置。 　　4. 对称变换：关于轴对称则取相反数；关于轴对称则把换成；关于顶点对称则取相反数、顶点不变。 知识点03 二次函数的图象和性质 　　1. 用配方法可将一般式化为顶点式：。 　　2. 对称轴是直线，顶点坐标是。 　　3. 图象性质如下表： 项目 （开口向上） （开口向下） 增减性 对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大 对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小 最值 当时，取最小值 当时，取最大值 知识点04 图象特征与系数的关系 　　1. ：决定开口方向，开口向上，开口向下。 　　2. 与：决定对称轴位置，"左同右异"，对称轴在轴左侧则同号，在右侧则异号，时对称轴为轴。 　　3. ：决定抛物线与轴交点的位置，交点纵坐标就是；交于正半轴、经过原点、交于负半轴。 　　4. ：决定与轴交点个数，两个交点、一个交点、无交点。 　　5. 判断代数式符号常取特殊值：得，得，结合图象对应值判断正负。 知识点05 求二次函数的解析式（待定系数法） 　　1. 根据已知条件特点选择解析式形式：已知三点选一般式，已知顶点或最值选顶点式，已知与轴交点选交点式。 　　2. 步骤：把已知点坐标代入解析式，建立关于系数的方程（组），解方程求未知系数，得到解析式。 　　3. 平移求解析式：把原式化为顶点式，由"左加右减、上加下减"得新顶点，再由不变写出新顶点式。 知识点06 二次函数与一元二次方程的关系 　　1. 令得，方程的根就是抛物线与轴交点的横坐标。 判别式 一元二次方程的根 抛物线与轴交点 两个不相等的实数根 两个交点 两个相等的实数根 一个交点（顶点在轴上） 没有实数根 没有交点 　　2. 利用图象求方程近似解：先画出图象，确定交点横坐标在哪两个整数之间，再列表看值正负交替的位置，估算近似根。 知识点07 二次函数与一元二次不等式的关系 　　1. 的解集：抛物线在轴上方的部分对应的取值。 　　2. 的解集：抛物线在轴下方的部分对应的取值。 　　3. 求解步骤：化为标准形式→明确正负与对称轴、计算→画抛物线草图→根据图象在轴上方或下方确定解集。 知识点08 二次函数的最值 　　1. 无自变量范围限制时：时取最值。 　　2. 自变量限定在区间时：先判断对称轴是否落在区间内；若在区间内，最值可能是顶点值，还要比较两端点函数值；若不在区间内，最值就是离对称轴较远的端点处的函数值。 知识点09 二次函数的实际应用 　　1. 一般步骤：审题意→设未知量→列二次函数关系式→借助图象性质求函数值或最值→检验结果是否符合实际→作答。 　　2. 常见模型：最大利润问题（单件利润×销售量）；最大面积问题（用面积公式建立函数）；抛物线形轨迹问题（拱桥、喷水、投篮、跳水，建立坐标系把实际距离转化为点坐标）。 题型01 二次函数的概念与参数求值 　　 　　1. 紧扣定义：解析式为整式、自变量最高次数为、二次项系数。 　　2. 求参数时联立"最高次数等于"与""两个条件。 3. 判断函数是否二次函数，先化简再判定各项系数。 【典例1】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义逐一判断各选项． 【详解】解：A、未明确，当时不含二次项，不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数均为1，是一次函数，不符合题意； C、中的最高次数为2，且二次项系数不为0，是二次函数，符合题意； D、中的最高次数均为1，是一次函数，不符合题意． 【变式1】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数定义得到x的指数为2，二次项系数不为0，求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， ∴． 【变式2】. （26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）若函数是二次函数，则___________________． 【答案】 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得． 【变式3】. （26-27九年级上·广东江门·阶段检测）已知二次函数的常数项为零，则的值为________． 【答案】 【分析】根据常数项为零得到关于的方程，再结合二次函数定义要求二次项系数不为零，舍去不符合条件的解，得到最终结果． 【详解】解：∵二次函数 的常数项为零， ∴，解得 或 ， ∵该函数是二次函数，二次项系数不能为零， ∴， ∴， ∴． 题型02 二次函数的图象与性质 　　 　　1. 优先把一般式配方或套公式，直接读出顶点与对称轴。 　　2. 由符号判开口方向，由大小判开口宽窄。 3. 求解析式后代入点坐标，利用性质求函数值。 【典例2】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）抛物线的对称轴是直线__________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴是解答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是． 【变式1】. （2026九年级上·全国·专题练习）抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为． 【变式2】. （26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知二次函数． (1)将该函数的解析式化为顶点式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) 顶点式为；开口方向向上；对称轴为直线；顶点坐标为 (2) 当时，随的增大而减小 【分析】（1）用配方法将二次函数一般式化为顶点式，根据二次项系数的符号判断开口方向，结合顶点式得到对称轴与顶点坐标； （2）根据二次函数的开口方向和对称轴，确定随增大而减小时的取值范围． 【详解】（1）解：， ∵ 二次项系数， ∴ 函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小． 【变式3】. （26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）下列关于抛物线的说法中不正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．对称轴是直线 D．该抛物线对应的函数有最大值是 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是，对称轴是直线，根据，得出开口向上，当时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线，故A、C选项正确； ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故B选项正确； ∵抛物线开口向上， ∴函数有最小值，为，无最大值，故D选项错误． 题型03 待定系数法求二次函数解析式 　　 　　1. 已知三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与轴交点设交点式。 　　2. 代入坐标建立方程组，解出待定系数。 3. 最后按要求化回题目需要的形式。 【典例3】. （26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）写出一个顶点为的二次函数表达式_________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意设函数表达式为：， 若取，则函数表达式为． 【变式1】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】设二次函数的解析式为，利用待定系数法求解． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将点、和代入得， ，解得：， ∴ 二次函数的解析式为． 【变式2】. （24-25九年级上·云南德宏·期末）已知二次函数的图象经过，两点，则该二次函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将，代入， 得，解得， ∴该二次函数的解析式为． 【变式3】. （26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的解析式，并求出它的图像的顶点坐标和对称轴． 【答案】二次函数的解析式为；图像的顶点坐标为；对称轴为直线． 【分析】先由待定系数法求解函数解析式，再配方成顶点式，即可求解顶点坐标和对称轴． 【详解】解：将点和代入， 可得 解得 ∴二次函数的解析式为 而 ∴图像的顶点坐标为，对称轴为直线． 题型04 抛物线的平移与对称变换 　　 　　1. 平移前先化为顶点式，应用"左加右减、上加下减"。 　　2. 平移不改变，只改变顶点，直接写出新顶点式。 3. 对称变换抓住系数符号变化规律（轴、轴、顶点对称）。 【典例4】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数图象的平移规律“左加右减,上加下减”,进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得， 再向上平移3个单位长度，得. 【变式1】. （26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线向左平移1个单位长度，需要把原式中的替换成即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得． 【变式2】. （25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）当k为何值时， (1)函数为二次函数？ (2)它是由二次函数怎么样平移得到的？ 【答案】(1) (2)将二次函数向上平移1个单位长度得到． 【分析】（1）根据二次函数的定义解答即可； （2）根据二次函数图象平移的性质得到的． 【详解】（1）解：∵函数为二次函数， ∴且， 解得：且， ∴； （2）解：由（1）得：（1）中的二次函数的解析式为， ∴它是由二次函数向上平移1个单位长度得到的． 【变式3】. （26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到二次函数的图象． (1)直接写出，，的值； (2)写出二次函数的具体解析式和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)通过计算说明二次函数的图象向下平移多少个单位会经过点． 【答案】(1)，， (2)，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (3)向下平移个单位． 【分析】由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，的值； 根据二次函数的性质即可得到答案； 设平移后二次函数为，把代入得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，，； （2）解：二次函数，即的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：设平移后二次函数为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的图象向下平移个单位会经过点． 题型05 二次函数与坐标轴的交点 　　 　　1. 求与轴交点令；求与轴交点令解方程。 　　2. 交点个数由判断。 3. 未说明是二次函数时，要考虑一次函数的可能，注意分类。 【典例5】. （26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， ∴， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为． 【变式1】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 【答案】5 【分析】求出二次函数，当时x的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 或， ， 线段长为． 【变式2】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数． (1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)求图象与x轴的交点坐标，并写出当时x的取值范围． 【答案】(1)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为 (2)与x轴的交点坐标为和，取值范围为 【分析】（1）因为二次函数二次项系数为正，所以可直接判断开口方向；如果用配方法将函数化为顶点式的形式，那么可直接得到对称轴为直线，顶点坐标为，也可使用对称轴公式、顶点纵坐标公式计算对应结果． （2）求图象与x轴的交点坐标时，因为x轴上点的纵坐标为0，所以令，解一元二次方程，得到的根就是交点的横坐标；因为该二次函数开口向上，所以当时，x的取值范围在两个交点横坐标之间． 【详解】（1）解：． ∵ ， ∴ 开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ． （2）解：令 ，得 ， 即 ， 解得 ， ∴ 与 x 轴的交点坐标为 和 ． ∵ 抛物线开口向上， ∴图象在 x 轴下方的部分对应的 x 的取值范围为． 【变式3】. （26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线， (1)当实数m满足什么条件时，该抛物线与x轴有交点？ (2)当实数m满足什么条件时，其顶点在y轴上． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）根据抛物线与轴有交点，需满足，，据此列不等式，解出即可得当实数m满足且时，与x轴有交点． （2）根据抛物线顶点在y轴上时，需满足顶点横坐标为0，，据此列方程，解出即可得当实数m满足时，顶点在y轴上． 【详解】（1）解：根据题意得：抛物线与x轴有交点，需满足： ，，解得：且， ∴当实数m满足且时，与x轴有交点． （2）解：当抛物线顶点在y轴上时，满足： ，，解得：， ∴当实数m满足时，顶点在y轴上． 题型06 图象判断系数及代数式符号 　　 　　1. 由开口判，由对称轴位置判关系，由轴交点判，由轴交点判。 　　2. 取等特殊点，利用对应值判断、等代数式。 3. 结合对称轴与系数的关系推导二次代数式符号。 【典例6】. （26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知二次函数的图象，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴在轴左侧，即 ， ∴． 【变式1】. （26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）某二次函数的部分图象如上图所示： ①；②；③；④．以上结论中正确的是 _______________． 【答案】③④ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置，确定的符号及数量关系，结合对称性求出另一交点坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 对称轴为直线， ， ， ， ， ，故①错误． 对称轴为直线，与轴的一个交点为， 另一个交点为， 当时，，故②错误． ， ， ，故③正确． ，， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论是③④． 【变式2】. （26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【详解】解：由图象开口向下得；顶点横坐标为2，即，得，则， B正确； 由图象与轴交于点得，所以，A错误； 抛物线开口向下，对称轴右侧随的增大而减小，C正确； 时图象在轴下方，，D正确． 【变式3】. （26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）下表列出了二次函数（，，为常数，）的自变量与函数的几组对应值． … … … … 有下列四个结论：①；②；③；④若直线（为常数）与二次函数的图象有两个交点，则．其中正确结论的序号为________． 【答案】①③④ 【分析】求出、、的值，即可判断①③正确，②错误，从而得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再结合直线（为常数）是平行于轴的直线即可判断④正确． 【详解】解：由表格可得当时，，当时，，当时，， ∴， 解得， ∴，，，故①③正确，②错误； ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴结合表格可得，抛物线的顶点坐标为， ∵直线（为常数）是平行于轴的直线，且与二次函数的图象有两个交点， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 题型07 二次函数的增减性与比较大小 　　 　　1. 先求对称轴，计算各点到对称轴的距离。 　　2. 时离对称轴越远函数值越大，时越远函数值越小。 3. 用点关于对称轴对称的对应点辅助比较。 【典例7】. （26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知函数图象经过点，，，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ 开口向上时，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ∴ . 【变式1】. （26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知抛物线经过，两点，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 【变式2】. （26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）若点和在的图象上，且，比较与的大小：______． 【答案】 【分析】在的图象上，当时，随的增大而减小，故． 【详解】对，， 图象开口向上，对称轴是轴， ∴当时，随的增大而减小， 故当时，． 【变式3】. （26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数开口向下时离对称轴越近函数值越大的规律，通过比较各点到对称轴的距离比较函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 题型08 限定区间求二次函数最值 　　 　　1. 求对称轴横坐标，判断是否在给定区间内。 　　2. 顶点在区间内，比较顶点值与两端点函数值；顶点不在区间内，取离对称轴较远端点。 3. 分情况讨论，结果检验是否符合区间限制。 【典例8】. （26-27九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，取得最大值； ∵当时，；当时，， ∵， ∴的最小值为． ∴的取值范围是． 【变式1】. （25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是_____________． 【答案】1或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据的正负分类讨论，确定最小值的位置，代入计算得到的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∵在区间内，分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，即时， 代入得， 整理得， 解得； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， 在中，离对称轴更远， ∴时取得最小值， 代入得， 整理得， 解得； 综上，的值为或． 【变式2】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先对二次函数配方得到开口方向与顶点坐标，再计算自变量区间端点的函数值，比较得到y的最值，即可确定y的取值范围． 【详解】解：先对函数解析式配方，得， ∵， ∴抛物线开口向下，函数的最大值在顶点处取得，顶点横坐标为，且在范围内， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴的最小值为， 因此当时，函数值的取值范围是． 【变式3】. （2026九年级上·广东·专题练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． (4)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用待定系数法直接解答即可； （2）把代入上一小问求出的解析式，求出函数值即可求出答案； （3）把取值范围的端点值代入第一小问的解析式，结合函数图象，求出的取值范围； （4）根据二次函数的顶点坐标公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为． （2）解：由（1）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，． （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． （4）解： ， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数的最大值为， ∴，且， 解得或（舍去）， ∴． 题型09 二次函数与一元二次方程、不等式综合 　　 　　1. 用判交点个数，用韦达定理处理根的关系。 　　2. 解不等式画抛物线草图，看图象在轴上方或下方。 3. 求方程近似解找值正负交替的区间。 【典例9】. （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若直线与抛物线只有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】联立两函数方程，根据只有一个公共点可知对应一元二次方程判别式为，代入求解的值． 【详解】解：将代入，得 ， 整理得． ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根，即． ∵， ∴， 解得． 【变式1】. （26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）根据下表中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据“化为一般形式的一元二次方程，相邻的两个的值所对应的方程左边的代数式的值一个大于，一个小于，则其一个解的取值范围就是在这两个的值之间．”这一结论解答即可． 【详解】解：当时，的值为，当时，的值为， 一元二次方程的一个解的取值范围是 【变式2】. （26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）按要求解答： (1)已知抛物线经过点，求的值； (2)如果点，都在抛物线上，求，的值． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线解析式，列方程求解的值． （2）分别将两点坐标代入抛物线解析式，列方程求解和的值． 【详解】（1） 解：∵抛物线经过点 ， ∴ ． 解得． （2） 解：∵点在抛物线上 ， ∴ ，即． ∵点在抛物线上 ， ∴ ． ∴ ． 解得． 【变式3】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数（为常数） (1)求证：不论为何值该函数图象与轴必有公共点； (2)已知点，在二次函数图象上，若，则的取值范围是______． 【答案】(1)证明：令，得方程, 则 , ∵ 不论为何值，， ∴ ，即 ∴ 不论为何值，该方程总有实数根，即该函数图象与轴必有公共点； (2) 【分析】（1）计算判别式的值得到，从而根据判别式的意义得到结论； （2）先把点的坐标代入解析式得到, , 则利用得到, 然后解不等式即可． 【详解】（1）略； （2）解：把分别代入中, 得,, , , ∴, 即的取值范围是 . 题型10 二次函数与一次函数图象综合 　　 　　1. 双图象辨析：先由其中一个图象判定系数符号，代入另一函数验证是否矛盾。 　　2. 求交点联立两函数解析式，转化为一元二次方程求解。 　　3. 结合特殊点（坐标轴交点、对称轴）排除错误选项。 【典例10】. （26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、二次函数开口向上，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、二、三象限，则，；b矛盾，故选项A不符合题意； B、二次函数开口向上，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、三、四象限，则，；故选项B符合题意； C、二次函数开口向下，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、二、三象限，则，；a矛盾，故选项C不符合题意； D、二次函数开口向下，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、三、四象限，则，；a矛盾，故选项D不符合题意． 【变式1】. （24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 【答案】 【分析】根据图象上一次函数图象在二次函数图象上方部分对应的自变量取值范围即可得解． 【详解】解：由图象可知，当时，一次函数图象在二次函数图象上方， 则的解集是． 【变式2】. （26-27九年级上·四川南充·阶段检测）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． (3)若点在该抛物线上，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）通过一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）利用轴对称的性质找出点，利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出交点坐标即可； （3）根据二次函数解析式求出点坐标，分两种情况求三角形的面积． 【详解】（1）解：在中，当时，，解得，则； 当时，，则； ∴抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，点为点关于对称轴的对称点，作直线交对称轴于点，连接， 此时，的值最小，最小值为线段的长度， 由（1）可知抛物线的对称轴为直线，且， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴； （3）解：当时，， 解得， 当时，，如图所示， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴； 当时，，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 利用割补法可得， ； 综上，的面积为或． 【变式3】. （24-25九年级上·全国·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B，直线与抛物线交于A，D．已知点，． (1)求抛物线与直线的函数解析式． (2)求出的面积． (3)若点P是平面直角坐标系内的一点，要使A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合题意的点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P坐标为，， 【分析】（1）抛物线与x轴交于点A，B，得到关于，的方程组求解，求得抛物线的函数解析式；设直线的函数解析式为，根据，，得到关于，的方程组求解，求得直线的函数解析式； （2）先求得的长，再求得即可求得的面积； （3）分四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形三种情形，分别求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A，B， ，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 设直线AD的函数解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2），令，得出， ∵，， ∴， ∴； （3）如图，有三种情况： 当四边形是平行四边形时， ∴，， 即轴， ∵， ∴由点向左平移4个单位得到， ∵， ∴点； 当四边形是平行四边形时，过分别点、点作轴的垂线，垂足分别为、，如图，则， ∵， ，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， 即； 当四边形是平行四边形时， ∴，， ∵， ∴由点向右平移4个单位得到， ∵， ∴点． 综上所述，点P坐标为，，． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，一次函数、二次函数图象综合判断，面积问题(二次函数综合)，坐标系中的平移，全等的性质和（）综合（或者），利用平行四边形的性质求解，解题关键是掌握上述知识点． 题型11 实际应用——最大利润问题 　　 　　1. 单件利润等于售价减进价，总利润等于单件利润乘销售量。 　　2. 分析价格变化对销售量与利润的影响，建立总利润关于售价的函数。 3. 求最值时注意售价、销售量的取值范围限制，比较顶点与端点。 【典例11】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某商店销售一种进价为每件30元的商品，当售价为每件50元时，每天可售出80件．市场调查发现，售价每降低1元，每天可多售出8件．设售价降低x元，每天的利润为y元． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)售价降低多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)售价降低5元时，每天获得的利润最大，最大利润是1800元 【分析】（1）每天的利润每件利润每天销量，由此即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：售价降低元后，每件利润为元，每天销量为件， ∴． （2）解：， ∵， ∴当时，y 取最大值1800． 故售价降低5元时，每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 【变式1】. （26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）年世运会在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件. (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，售价降低多少元时，每天的收入最大？最大收入是多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为. (2)售价降低元时，每天的收入最大，最大收入为元. 【详解】（1）解：设月平均增长率是，根据题意得： ，解得：，（舍）， ∴月平均增长率为. （2）解：设售价降低元，收入为，则根据题意得：， 化简得：， 配方得：， ∵， ∴此二次函数开口向下，对称轴是直线，有最大值，当时，（元）， ∴售价降低元时，每天的收入最大，最大收入为元. 【变式2】. （26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）某旅游景区年“十一”接待游客万人次，年“十一”接待游客万人次．该景区内一家小吃店售卖特色小吃，每份成本7元，当售价为元时，平均每天销售份；售价每降低1元，平均每天多销售份． (1)求2024年至年“十一”假期游客人次的年平均增长率； (2)店员认为，通过降价，店铺每天至少能获利元．你认为该想法对吗？如果不对，求店家每天可获得的最大利润． 【答案】(1) (2)该想法不对，最大利润为元 【分析】（1）设年平均增长率为，则，解方程即可； （2）总利润等于单份利润乘以销量，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求解即可 ． 【详解】（1）解：设年平均增长率为，根据题意可得： 或 解得：，（不符合题意，舍去）， 所以年平均增长率为． （2）解：设每份降价元，则售价为元，每份利润为元，每天销量为份． 设每天利润为元，则， 因为，所以当时，取最大值， 因为，所以即使把价格调到最优，每天也获利不到元，店员的想法不对． 【变式3】. （26-27九年级上·上海静安·阶段检测）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反映，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米． (1)设利润为，求利润与售价的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)大米售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)，的取值范围是． (2)大米售价定为7元时利润最大，最大利润为2550元． 【分析】（1）根据题意将每千克利润与数量用含的代数式表示出来，再根据“总利润每千克利润数量”列式即可； （2）将二次函数化为顶点式，再利用函数的增减性求解． 【详解】（1）解：由题意知每千克利润为元，数量为千克， ∴总利润， ∵以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售， ∴， ∴利润与售价的函数关系式为，的取值范围是． （2）解：， ∴二次函数的对称轴为， ∵二次函数图象开口向下，， ∴在时，随的增大而增大， 则在处取得最大值，此时（元）． ∴当大米售价定为7元时利润最大，最大利润为2550元． 题型12 实际应用——抛物线形轨迹与最大面积 　　 　　1. 抛物线形问题：建立合适坐标系，把实际距离转化为点的坐标，用待定系数法求解析式。 　　2. 面积问题：用面积公式或面积的和差建立二次函数。 3. 注意自变量的取值范围要符合实际（边长大于等）。 【典例12】. （26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米．如图建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的表达式； (2)如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)球出手时，他跳离地面的高度是米 【分析】（1）根据题中建立的平面直角坐标系，将二次函数经过的点的坐标找出来，再利用待定系数法求解； （2）根据题意，小杨所在位置为轴处，令求出球出手时的高度，即可求出小杨跳离地面的高度． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线经过点， 其中点为抛物线的顶点， ∴设抛物线表达式为， 将代入中，得， 解得， ∴抛物线表达式为． （2）解：令，则， （米）， ∴球出手时，他跳离地面的高度是米． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与轴正半轴交点的横坐标，即可求出自变量的取值范围； （）由题意得调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点，设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 令，得， 解得， ∴第一象限部分图象对应的自变量的取值范围为； （2）解：由题意得，调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点， 设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴调整后水管的最大长度为． 【变式2】. （26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）综合与实践  中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． (1)如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式； 任务二 (2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据平面直角坐标系的建立方法设函数的解析式，求出点的坐标，利用待定系数法求解； （2）根据题意，则，由此求出点坐标，待定系数法确定的解析式，联立二次函数解析式求交点坐标即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 碗体DEC的抛物线解析式可设为， 轴，， ， ， ， ， 解得， 碗体DEC的抛物线解析式为； （2）解：根据题意可知， ， ， ， ， 设直线的关系式为 则解得 ， 解得，， 当时，，即点，舍去； 当时，，即点； 故，． 【变式3】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图用长为的篱笆围成一个长方形的生物园，一面靠墙（墙足够长，）．长方形的面积为，的长为． (1)写出长方形的面积与之间的函数解析式，并求出的范围； (2)当为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)当时，长方形面积最大，面积最大为 【分析】（1）首先表示出长方形的长，根据长方形面积长宽列出函数关系式； （2）将函数关系式配方成二次函数顶点式，即可知其最大值． 【详解】（1）解：当长方形的宽时，其长， 故长方形的面积，， 即，其中； （2）解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，长方形面积最大，面积最大为， 答：当时，长方形面积最大，面积最大为． 题型13 二次函数中的存在性问题 　　 　　1. 明确目标图形（平行四边形、矩形、直角三角形、正方形）满足的条件。 　　2. 设出所求点坐标，按图形性质列出等量关系，分类讨论。 3. 逐一代入验证，舍去不符合题意的解。 【典例13】. （26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)抛物线的对称轴为直线______，______； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M，N，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）利用对称轴公式即可求出抛物线对称轴，然后将代入即可求出n的值； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行于的直线的解析式，然后和抛物线表达式联立求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴对称轴为直线 将代入得，； （2）解：∵ ∴ ∵抛物线对称轴为直线 ∴点C坐标为 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，如图， 设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， ∵直线的表达式为， ∴设直线的表达式为 将代入得， ∴直线的表达式为 联立和得， 解得， 或； （3）解：如图，作于点E，于点F ， 当，时， ∴，此时是以为斜边的等腰直角三角形 ∵ 解得，，，． 【变式1】. （26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)存在，或或 【分析】（1）先求出时x的值，再结合二次函数的性质作答即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 解得：， ∵， ∴对称轴为直线，y最小值为0， 要使函数的最小值为1，则或， 即或； （2）解：令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 【变式2】. （26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，．理由如下： ， 由（2）可知：， 故当时， . 【分析】（1）根据题意列出和的代数式即可． （2）根据题意得出，再利用勾股定理得出，最后解方程即可得出答案． （3）根据，得出关于t的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：∵当点Q运动到点C时，两点停止运动且， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：（不合题意，舍去）或， 故当时，的长度等于． （3）略； 【变式3】. （26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【分析】（1）根据直线的解析式求出点、的坐标，再根据抛物线的对称性求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称轴是，可以求出抛物线的最小值为，最大值为，即可得到的取值范围； （3）过点作直线轴，交直线于点，设点的坐标是，即可得到点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的性质可知当点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， 把点、、的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时，； （3）解：设点的坐标是， 如下图所示，过点作直线轴，交直线于点， 则点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 整理可得：， 当时有最大面积，最大面积是， 此时，即点的坐标是． 一、单选题 1．若是关于的二次函数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D．2或 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，需同时满足自变量最高次数为2，二次项系数不为0，联立求解a的值． 【详解】解：∵是关于的二次函数． ∴，且， 由得 ． 由得 ， ∴． 2．已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：由二次函数可知，其对称轴为直线． 图像显示抛物线与轴的一个交点为，且抛物线关于对称轴对称， 抛物线与轴的另一个交点与关于直线对称． 设另一个交点的横坐标为，则， 解得． 关于的一元二次方程的根为，． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的对称轴是直线， A．由一次函数图象可知，由二次函数图象可知，符号矛盾． B．由一次函数图象可知，，由二次函数图象可知，，即，符号一致． C．由一次函数图象可知，，由二次函数图象可知，，即，符号矛盾． D．由一次函数图象可知，由二次函数图象可知，符号矛盾． 二、填空题 4．二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 5．若点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为__________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在抛物线上距离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，，， 又∵， ∴． 6．二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次不等式的解集是___________． 【答案】或 【分析】根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上，且开口向上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的不等式的解集是或． 三、解答题 7．按要求完成下列各题： (1)解方程：； (2)求抛物线与直线的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴或， 解得； （2）解：联立，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，． 8．二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数解析式． (2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将二次函数的解析式化为顶点式即可求解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：二次函数的解析式为， 该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：二次函数的解析式为，且， 该二次函数在时取最小值，离对称轴越远值越大，在这个范围内， 时，取最小值， 又 ， 时，取最大值为， 故当时，的取值范围为． 9．如图，二次函数的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于x轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t．连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交x轴于点，直接写出的面积_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）先求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解交点的横坐标，再代入（2）中的函数关系式求解面积即可． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴． ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴． ∵二次函数（）的图象过点，， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为 （3）解：如图， 设直线 ∵， ∴ 解得 ∴直线 与抛物线表达式联立可得， 解得或（点横坐标） 即 ∴． 1．已知抛物线经过点，，且，则、的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线, ∴离对称轴越远，函数值越大 ∵ ，即， ∴． 2．抛物线和与平行于x轴的直线l分别交于A，C和B，D四点，如图所示，且，． 则抛物线的对称轴是________________． 【答案】直线 【分析】根据抛物线解析式确定的对称轴，利用抛物线的轴对称性质可知A，C关于对称轴对称，B，D关于对称轴对称；结合线段，的长度，利用中点坐标公式计算两对称轴之间的距离，从而求出的对称轴． 【详解】解：由抛物线可知，其对称轴为直线． 设抛物线的对称轴为直线． ∵点A，C在抛物线上，且直线l平行于x轴， ∴点A，C关于直线对称， ∴线段的中点横坐标为，即． ∵点B，D在抛物线上，且直线l平行于x轴， ∴点B，D关于直线对称， ∴线段的中点横坐标为m，即． ∴． ∵A，B，C，D从左到右排列，且， ∴，． ∴． ∴． ∴抛物线的对称轴是直线． 3．已知抛物线：（，是常数）经过点． (1)若抛物线的对称轴为直线，求，的值． (2)若抛物线还经过另一点，且， ①求的取值范围； ②抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．的最小值为，线段长为，记，求关于的函数解析式，并求的最小值． 【答案】(1)，； (2)①； ②（），的最小值为． 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式与点A在抛物线上的条件，联立方程求解b和c； （2）①由A、B纵坐标相同得两点关于对称轴对称，结合对称轴公式建立b与m的关系，根据m的范围推导b的范围； ②利用轴对称性质将转化为，结合最短路径结论得的最小值为的长度，结合长度得到W的解析式，再通过二次函数配方求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得． ∵抛物线经过点， ∴代入解析式得， 即． 将代入， 得． （2）解：①∵抛物线经过和， ∴两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线． 又∵抛物线对称轴为直线， ∴， 即． ∵， ∴， 即． ②∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，得， 即． 将代入抛物线解析式得， 即． 结合①中，得， ∴． ∵点P在抛物线的对称轴上，点A是点B关于对称轴的对称点， ∴， 即． ∵对称轴为直线，且， ∴，且， 即点B、C均在对称轴右侧，两点在同侧． ∴， 即最小值． 由勾股定理得， ∴． ∵、纵坐标相同， ∴线段的长度． ∴，其中． 将配方得． ∵二次函数开口向上，对称轴为直线，且在内， ∴当时，取得最小值，最小值为． 4．在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点B的坐标为，点A与点B不重合． (1)求此抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； (2)连接． ①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出a的取值范围； ②在①的条件下，过点B作x轴的垂线交抛物线于点C，若线段的长随a的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①或或；② 【分析】（1）根据二次函数对称轴公式求解即可； （2）①由点A和点B的坐标结合线段，得出，，求出点关于抛物线的对称点，再结合图象分情况讨论求解即可； ②求出点C的坐标，再得出表达式，最后由二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①∵点，点的坐标为，点A与点B不重合， ∴，，即， ∵点为抛物线上一点， ∴点关于抛物线的对称点为， ∵线段与抛物线有且只有1个公共点， 当点B在点A左侧时，，即； ∵ ∴此时点D在点B左侧，即线段与抛物线只有一个交点A，如图， 当点B在点A右侧时，，即 如图，当点为抛物线的顶点时，， ∵线段与抛物线有且只有1个公共点， ∴； 当点在点左侧时，如图， ∴，即，此时线段与抛物线只有一个交点A， 综上所述，a的取值范围为或或； ②把点代入得，， ∴， ∴， ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， ∴点C的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴设， 当时，， ∴或； 当时，， ∴； 该函数与x轴的交点坐标为和，对称轴为直线， 画出函数图象如下： ∴由图象可得，当或时，线段的长随的增大而减小， ∵在①的条件下，或或， ∴综上所述，当时，线段的长随的增大而减小． 5．已知抛物线（，且a为常数），与y轴交于点，与x轴交于点、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线（，且k为常数）与抛物线交于点，，点在第一象限内的抛物线上，若，求k的值； (3)如图2，不经过点的直线交抛物线于，两点．若直线记为，直线记为，求与满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入抛物线解析式，解关于的方程． （2）先求点坐标，发现直线恒过定点，与横坐标相同，以为底用水平距离表示面积，联立后由一元二次方程的根与系数关系建立关于的方程． （3） 联立直线与抛物线得交点坐标，用待定系数法设直线、的解析式，代入交点坐标求出、关于参数的表达式，消参得关系． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：点在抛物线上， ， 即， 解得或， 在第一象限， ，， ， 直线恒过定点， ，横坐标相同， ，所在直线为， 设，，则 ， 联立， 得， 由一元二次方程的根与系数关系：，， ， ， ， 即， ， 解得． （3）解：联立， 得， 设，则，， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， 由代入： ， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， 由代入： ， ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 二次函数 教学目标 　　1. 理解二次函数的概念，掌握三种解析式形式，会用待定系数法求函数解析式。 　　2. 掌握二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值），能判断及其代数式符号。 　　3. 理解二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系，能结合图象解决相关综合问题。 　　4. 掌握抛物线的平移与对称变换，会求限定自变量区间下二次函数的最值。 　　5. 会建立二次函数模型解决利润、面积、抛物线轨迹等实际问题，体会数形结合与建模思想。 教学重难点 　　1. 重点： 　　（1）二次函数的图象性质，求对称轴、顶点及指定区间的最值； 　　（2）待定系数法求二次函数三种形式的解析式； 　　（3）二次函数与一元二次方程、不等式的数形结合应用； 　　（4）二次函数的实际应用（利润、面积、抛物线形模型）。 　　2. 难点： 　　（1）自变量受限制时二次函数最值的求解； 　　（2）由图象判断衍生代数式的符号； 　　（3）把实际情境抽象转化为二次函数数学模型； 　　（4）二次函数与几何的综合问题及存在性问题的分类讨论。 知识点01 二次函数的概念 　　1. 定义：形如（为常数，）的函数叫作二次函数，是自变量，是二次项系数、是一次项系数、是常数项。 　　2. 判断二次函数必须同时满足三个条件：解析式是整式；化简后自变量的最高次数为；二次项系数。 　　3. 自变量的取值范围：一般情况下为全体实数；实际问题中还要使实际问题有意义。 　　4. 二次函数解析式的三种形式如下表： 形式 表达式 适用条件 一般式 已知抛物线上任意三个点的坐标 顶点式 已知顶点、对称轴或最大（小）值 交点式 已知抛物线与轴的两个交点、 　　5. 三种形式可以互相转化，其中交点式只有在抛物线与轴有交点时才可写出。 知识点02 二次函数图象的画法与平移 　　1. 画图的一般步骤：列表（以对称轴为中心对称选取值）→描点→用平滑曲线顺次连线。 　　2. 图象是抛物线，越大开口越窄，越小开口越宽。 　　3. 平移规律："左加右减、上加下减"，即加减括号内常数、函数值加减常数项；平移前后不变，只改变顶点位置。 　　4. 对称变换：关于轴对称则取相反数；关于轴对称则把换成；关于顶点对称则取相反数、顶点不变。 知识点03 二次函数的图象和性质 　　1. 用配方法可将一般式化为顶点式：。 　　2. 对称轴是直线，顶点坐标是。 　　3. 图象性质如下表： 项目 （开口向上） （开口向下） 增减性 对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大 对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小 最值 当时，取最小值 当时，取最大值 知识点04 图象特征与系数的关系 　　1. ：决定开口方向，开口向上，开口向下。 　　2. 与：决定对称轴位置，"左同右异"，对称轴在轴左侧则同号，在右侧则异号，时对称轴为轴。 　　3. ：决定抛物线与轴交点的位置，交点纵坐标就是；交于正半轴、经过原点、交于负半轴。 　　4. ：决定与轴交点个数，两个交点、一个交点、无交点。 　　5. 判断代数式符号常取特殊值：得，得，结合图象对应值判断正负。 知识点05 求二次函数的解析式（待定系数法） 　　1. 根据已知条件特点选择解析式形式：已知三点选一般式，已知顶点或最值选顶点式，已知与轴交点选交点式。 　　2. 步骤：把已知点坐标代入解析式，建立关于系数的方程（组），解方程求未知系数，得到解析式。 　　3. 平移求解析式：把原式化为顶点式，由"左加右减、上加下减"得新顶点，再由不变写出新顶点式。 知识点06 二次函数与一元二次方程的关系 　　1. 令得，方程的根就是抛物线与轴交点的横坐标。 判别式 一元二次方程的根 抛物线与轴交点 两个不相等的实数根 两个交点 两个相等的实数根 一个交点（顶点在轴上） 没有实数根 没有交点 　　2. 利用图象求方程近似解：先画出图象，确定交点横坐标在哪两个整数之间，再列表看值正负交替的位置，估算近似根。 知识点07 二次函数与一元二次不等式的关系 　　1. 的解集：抛物线在轴上方的部分对应的取值。 　　2. 的解集：抛物线在轴下方的部分对应的取值。 　　3. 求解步骤：化为标准形式→明确正负与对称轴、计算→画抛物线草图→根据图象在轴上方或下方确定解集。 知识点08 二次函数的最值 　　1. 无自变量范围限制时：时取最值。 　　2. 自变量限定在区间时：先判断对称轴是否落在区间内；若在区间内，最值可能是顶点值，还要比较两端点函数值；若不在区间内，最值就是离对称轴较远的端点处的函数值。 知识点09 二次函数的实际应用 　　1. 一般步骤：审题意→设未知量→列二次函数关系式→借助图象性质求函数值或最值→检验结果是否符合实际→作答。 　　2. 常见模型：最大利润问题（单件利润×销售量）；最大面积问题（用面积公式建立函数）；抛物线形轨迹问题（拱桥、喷水、投篮、跳水，建立坐标系把实际距离转化为点坐标）。 题型01 二次函数的概念与参数求值 　　 　　1. 紧扣定义：解析式为整式、自变量最高次数为、二次项系数。 　　2. 求参数时联立"最高次数等于"与""两个条件。 3. 判断函数是否二次函数，先化简再判定各项系数。 【典例1】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数，则________． 【变式2】. （26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）若函数是二次函数，则___________________． 【变式3】. （26-27九年级上·广东江门·阶段检测）已知二次函数的常数项为零，则的值为________． 题型02 二次函数的图象与性质 　　 　　1. 优先把一般式配方或套公式，直接读出顶点与对称轴。 　　2. 由符号判开口方向，由大小判开口宽窄。 3. 求解析式后代入点坐标，利用性质求函数值。 【典例2】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）抛物线的对称轴是直线__________． 【变式1】. （2026九年级上·全国·专题练习）抛物线的顶点坐标是_____． 【变式2】. （26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知二次函数． (1)将该函数的解析式化为顶点式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而减小？ 【变式3】. （26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）下列关于抛物线的说法中不正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．对称轴是直线 D．该抛物线对应的函数有最大值是 题型03 待定系数法求二次函数解析式 　　 　　1. 已知三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与轴交点设交点式。 　　2. 代入坐标建立方程组，解出待定系数。 3. 最后按要求化回题目需要的形式。 【典例3】. （26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）写出一个顶点为的二次函数表达式_________． 【变式1】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的解析式． 【变式2】. （24-25九年级上·云南德宏·期末）已知二次函数的图象经过，两点，则该二次函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的解析式，并求出它的图像的顶点坐标和对称轴． 题型04 抛物线的平移与对称变换 　　 　　1. 平移前先化为顶点式，应用"左加右减、上加下减"。 　　2. 平移不改变，只改变顶点，直接写出新顶点式。 3. 对称变换抓住系数符号变化规律（轴、轴、顶点对称）。 【典例4】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）当k为何值时， (1)函数为二次函数？ (2)它是由二次函数怎么样平移得到的？ 【变式3】. （26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到二次函数的图象． (1)直接写出，，的值； (2)写出二次函数的具体解析式和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)通过计算说明二次函数的图象向下平移多少个单位会经过点． 题型05 二次函数与坐标轴的交点 　　 　　1. 求与轴交点令；求与轴交点令解方程。 　　2. 交点个数由判断。 3. 未说明是二次函数时，要考虑一次函数的可能，注意分类。 【典例5】. （26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 【变式2】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数． (1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)求图象与x轴的交点坐标，并写出当时x的取值范围． 【变式3】. （26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线， (1)当实数m满足什么条件时，该抛物线与x轴有交点？ (2)当实数m满足什么条件时，其顶点在y轴上． 题型06 图象判断系数及代数式符号 　　 　　1. 由开口判，由对称轴位置判关系，由轴交点判，由轴交点判。 　　2. 取等特殊点，利用对应值判断、等代数式。 3. 结合对称轴与系数的关系推导二次代数式符号。 【典例6】. （26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知二次函数的图象，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）某二次函数的部分图象如上图所示： ①；②；③；④．以上结论中正确的是 _______________． 【变式2】. （26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【变式3】. （26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）下表列出了二次函数（，，为常数，）的自变量与函数的几组对应值． … … … … 有下列四个结论：①；②；③；④若直线（为常数）与二次函数的图象有两个交点，则．其中正确结论的序号为________． 题型07 二次函数的增减性与比较大小 　　 　　1. 先求对称轴，计算各点到对称轴的距离。 　　2. 时离对称轴越远函数值越大，时越远函数值越小。 3. 用点关于对称轴对称的对应点辅助比较。 【典例7】. （26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知函数图象经过点，，，则有（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知抛物线经过，两点，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】. （26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）若点和在的图象上，且，比较与的大小：______． 【变式3】. （26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型08 限定区间求二次函数最值 　　 　　1. 求对称轴横坐标，判断是否在给定区间内。 　　2. 顶点在区间内，比较顶点值与两端点函数值；顶点不在区间内，取离对称轴较远端点。 3. 分情况讨论，结果检验是否符合区间限制。 【典例8】. （26-27九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是_____________． 【变式2】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是_____． 【变式3】. （2026九年级上·广东·专题练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． (4)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 题型09 二次函数与一元二次方程、不等式综合 　　 　　1. 用判交点个数，用韦达定理处理根的关系。 　　2. 解不等式画抛物线草图，看图象在轴上方或下方。 3. 求方程近似解找值正负交替的区间。 【典例9】. （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若直线与抛物线只有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式1】. （26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）根据下表中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是___________． 【变式2】. （26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）按要求解答： (1)已知抛物线经过点，求的值； (2)如果点，都在抛物线上，求，的值． 【变式3】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数（为常数） (1)求证：不论为何值该函数图象与轴必有公共点； (2)已知点，在二次函数图象上，若，则的取值范围是______． 题型10 二次函数与一次函数图象综合 　　 　　1. 双图象辨析：先由其中一个图象判定系数符号，代入另一函数验证是否矛盾。 　　2. 求交点联立两函数解析式，转化为一元二次方程求解。 　　3. 结合特殊点（坐标轴交点、对称轴）排除错误选项。 【典例10】. （26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 【变式2】. （26-27九年级上·四川南充·阶段检测）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． (3)若点在该抛物线上，求的面积． 【变式3】. （24-25九年级上·全国·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B，直线与抛物线交于A，D．已知点，． (1)求抛物线与直线的函数解析式． (2)求出的面积． (3)若点P是平面直角坐标系内的一点，要使A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合题意的点P的坐标． 题型11 实际应用——最大利润问题 　　 　　1. 单件利润等于售价减进价，总利润等于单件利润乘销售量。 　　2. 分析价格变化对销售量与利润的影响，建立总利润关于售价的函数。 3. 求最值时注意售价、销售量的取值范围限制，比较顶点与端点。 【典例11】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某商店销售一种进价为每件30元的商品，当售价为每件50元时，每天可售出80件．市场调查发现，售价每降低1元，每天可多售出8件．设售价降低x元，每天的利润为y元． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)售价降低多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1】. （26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）年世运会在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件. (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，售价降低多少元时，每天的收入最大？最大收入是多少元？ 【变式2】. （26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）某旅游景区年“十一”接待游客万人次，年“十一”接待游客万人次．该景区内一家小吃店售卖特色小吃，每份成本7元，当售价为元时，平均每天销售份；售价每降低1元，平均每天多销售份． (1)求2024年至年“十一”假期游客人次的年平均增长率； (2)店员认为，通过降价，店铺每天至少能获利元．你认为该想法对吗？如果不对，求店家每天可获得的最大利润． 【变式3】. （26-27九年级上·上海静安·阶段检测）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反映，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米． (1)设利润为，求利润与售价的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)大米售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 题型12 实际应用——抛物线形轨迹与最大面积 　　 　　1. 抛物线形问题：建立合适坐标系，把实际距离转化为点的坐标，用待定系数法求解析式。 　　2. 面积问题：用面积公式或面积的和差建立二次函数。 3. 注意自变量的取值范围要符合实际（边长大于等）。 【典例12】. （26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米．如图建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的表达式； (2)如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【变式2】. （26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）综合与实践  中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． (1)如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式； 任务二 (2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标． 【变式3】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图用长为的篱笆围成一个长方形的生物园，一面靠墙（墙足够长，）．长方形的面积为，的长为． (1)写出长方形的面积与之间的函数解析式，并求出的范围； (2)当为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 题型13 二次函数中的存在性问题 　　 　　1. 明确目标图形（平行四边形、矩形、直角三角形、正方形）满足的条件。 　　2. 设出所求点坐标，按图形性质列出等量关系，分类讨论。 3. 逐一代入验证，舍去不符合题意的解。 【典例13】. （26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)抛物线的对称轴为直线______，______； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M，N，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】. （26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】. （26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】. （26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．若是关于的二次函数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D．2或 2．已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．二次函数的顶点坐标是______． 5．若点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为__________________（用“”连接）． 6．二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次不等式的解集是___________． 三、解答题 7．按要求完成下列各题： (1)解方程：； (2)求抛物线与直线的交点坐标． 8．二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数解析式． (2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (3)当时，求的取值范围． 9．如图，二次函数的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于x轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t．连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交x轴于点，直接写出的面积_______． 1．已知抛物线经过点，，且，则、的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．抛物线和与平行于x轴的直线l分别交于A，C和B，D四点，如图所示，且，． 则抛物线的对称轴是________________． 3．已知抛物线：（，是常数）经过点． (1)若抛物线的对称轴为直线，求，的值． (2)若抛物线还经过另一点，且， ①求的取值范围； ②抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．的最小值为，线段长为，记，求关于的函数解析式，并求的最小值． 4．在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点B的坐标为，点A与点B不重合． (1)求此抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； (2)连接． ①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出a的取值范围； ②在①的条件下，过点B作x轴的垂线交抛物线于点C，若线段的长随a的增大而减小，求a的取值范围． 5．已知抛物线（，且a为常数），与y轴交于点，与x轴交于点、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线（，且k为常数）与抛物线交于点，，点在第一象限内的抛物线上，若，求k的值； (3)如图2，不经过点的直线交抛物线于，两点．若直线记为，直线记为，求与满足的数量关系． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $