2024年1月～3月各省市高三数学一模压轴新题型汇编

2024 1月-3月各省市一模压轴新题型汇编 1．（2024·云南·一模）已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，顶点是坐标原点是圆与的一个交点，是上的动点，且在轴两侧，直线与圆相切，线段线段分别与圆相交于点. (1)求的方程； (2)的面积是否存在最大值？若存在，求使的面积取得最大值的直线的方程；若不存在，请说明理由. 2．（2024·广西南宁·一模）若无穷数列满足，则称数列为数列，若数列同时满足，则称数列为数列． (1)若数列为数列，，证明：当时，数列为递增数列的充要条件是； (2)若数列为数列，，记，且对任意的，都有，求数列的通项公式． 3．（2024·山东青岛·一模）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，． (1)若，用表示； (2)证明：； (3)若，，，证明：． 4．（2024·山东聊城·一模）如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作，，，，，，，，. 一个机器人从区域出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相邻区域的概率相等.    (1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域； (2)求经过2秒机器人位于区域的概率； (3)求经过秒机器人位于区域的概率. 5．（2024·河南信阳·一模）定义：已知数列满足． (1)若，，求，的值； (2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由； (3)若数列为正项数列，证明：不存在实数A，使得． 6．（2024·湖北·一模）已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且． (1)求的方程； (2)设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标． 7．（2024·广东汕头·一模）已知点为双曲线上的动点. (1)判断直线与双曲线的公共点个数，并说明理由； (2)（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明； （ii）将双曲线的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若为双曲线上一点，直线：与的两条渐近线分别交于点，则为线段的中点. 8．（2024·湖北·二模）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． (1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； (2)已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 9．（2024·湖北·二模）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．    (1)若直线与轴的交点为，求证：； (2)过点作的垂线与直线交于点，求证：． 10．（2024·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.    (1)用表示点的横坐标和纵坐标； (2)设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值； (3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度. 11．（2024·云南·一模）已知是自然对数的底数，常数，函数. (1)求、的单调区间； (2)讨论直线与曲线的公共点的个数； (3)记函数、，若，且，则，求实数的取值范围. 12．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围. 13．（2024·安徽安庆·二模）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分． (1)直接写出和的值； (2)设a，，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数； (3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，，i，，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数（，，）的指数． 14．（202