2024年中考数学二轮复习——相似三角形—“8”字模型、“A”字模型专项训练

2024年中考数学二轮复习——相似三角形—“8”字模型、“A”字模型 一．“8”字模型 例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线． （1）求证：△APC∽△DPB； （2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长． （1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BC是∠ABD的平分线， ∴∠ABC＝∠DBC， ∴∠C＝∠DBC， 又∠APC＝∠DPB， ∴△APC∽△DPB． （2）解：设DP＝x， ∵AP＝PB＝1， ∴AD＝AP+DP＝1+x， 又AD＝CP， ∴CP＝1+x， 由（1）得：△APC∽△DPB， ∴AP：DP＝PC：BP， 即：1：x＝（x+1）：1， ∴x2+x＝1， ∴x2+x﹣1＝0， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴． 例2．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E． （1）求证：△ABM∽△MCF； （2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD， ∴∠BAM+∠AMB＝90°， ∵ME⊥AM， ∴∠AME＝90°， ∴∠AMB+∠FMC＝90°， ∴∠BAM＝∠FMC， ∴△ABM∽△MCF； （2）解：∵AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝4， ∵BM＝2， ∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2， 由（1）得：△ABM∽△MCF， ∴， ∴， ∴CF＝1， ∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3， ∵BC∥AD， ∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC， ∴△DEF∽△CMF， ∴， ∴， ∴DE＝6， ∴△DEF的面积DE•DF6×3＝9， 答：△DEF的面积为9． 例3．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F． （1）求证：△AOB∽△COE； （2）求证：BO2＝EO•FO． 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△AOB∽△COE； （2）∵△AOB∽△COE， ∴， ∵AD∥BC， ∴△AOF∽△COB． ∴， ∴， 即OB2＝OF•OE． 例4．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE． （1）求证：△CAD∽△CBG； （2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG． 证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE． ∴， ∵∠AFG＝∠EFA， ∴△FAG∽△FEA， ∴∠FAG＝∠E， ∵AE∥BC， ∴∠E＝∠EBC， ∴∠EBC＝∠FAG， ∵∠ACD＝∠BCG， ∴△CAD∽△CBG； （2）∵△CAD∽△CBG， ∴， ∵∠DCG＝∠ACB， ∴△CDG∽△CAB， ∴， ∵AE∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴DG•AE＝AB•AG． 练习题 1．如图，楼AB的层数为5层，在楼顶A处观望另一幢楼CD的底部D，视线正好经过小树的顶端E，又从楼AB的底部B处观望楼CD的顶部C，视线也正好经过小树的顶端E，楼CD的层数为9层．已知这两幢楼每层楼的高度均为2.8米，B、F、D位于同一水平直线上，且AB、EF、CD均与BD垂直．求小树的高度EF． 二．“A”字模型 例1．《九章算术》中记载着这样的一个问题：“今有邑方，不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何？”大意如下：如图，M、N为正方形ABCD一组对边的中点，△GEF中，G、M、N、E四点共线，∠E＝90°，F、A、G三点共线，且AD⊥GE，GM＝20步，NE＝14步，EF＝1775步，求正方形ABCD的边长． 解：设正方形ABCD的边长为x步， ∵M、N为正方形ABCD一组对边的中点， ∴AMADx（步）， ∵AD⊥GE， ∴∠AMG＝90°， ∵∠E＝90°， ∴∠AMG＝∠E＝90°， ∵∠G＝∠G， ∴△AMG∽△FEG， ∴， ∴， 整理得：x2+34x﹣71000＝0， 解得：x1＝250，x2＝﹣284， 经检验：x1＝250，x2＝﹣284都是原方程的根， ∵x＞0， ∴x＝250， ∴正方形ABCD的边长为250步． 例2．如图，在河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到点F处测得自己的影长FG＝4m．设小丽的身高为1.6m，即CD＝EF＝1.6m，求灯杆AB的高度． 解：由题意得：CD⊥BG，AB⊥BG，EF⊥BG， ∴∠ABD＝∠CDF＝∠EFG＝90°， ∵∠AFB＝∠CFD， ∴△CDF∽△ABF， ∴， ∴， ∵∠G＝∠G， ∴△EFG∽△ABG， ∴， ∴， ∴， 解得：BD＝9， ∴， 解得：AB＝6.4， ∴灯杆AB的高度为6.4