精品解析：湖南省长沙市部分学校2023-2024学年高二下学期入学暨寒假作业检测联考数学试卷

2024年春季高二年级入学暨寒假作业检测联考 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式化简结果正确的是（　　） A. ＋＝ B. ＋＋＋＝ C. ＋－＝0 D －－＝ 4. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（ ） A. B. C D. 7. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的值域是 C. 的图象关于点对称 D. 为偶函数 11. 在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是（ ） A 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，正方体经过点、、截面面积的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分；共15分. 12. 设事件相互独立，且，，则_______. 13. 已知圆锥的底面半径为6，侧面积为，则该圆锥的内切球（圆锥的侧面和底面都与球相切）的体积为______． 14. 已知双曲线：，，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，连接交双曲线左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应㝍出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求数列的前2n项和. 16. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知的外接圆半径，且. （1）求B和b的值； （2）求AC边上高的最大值. 17. 在直三棱柱中，，，M为的中点，． （1）求的长； （2）求二面角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线交于，两点，，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值. 19. 已知函数． （1）若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围； （2）设，是函数的两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季高二年级入学暨寒假作业检测联考 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得 命题“”的否定为. 故选：C. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，由几何意义求在复平面内对应的点的坐标. 【详解】复数满足，则， 所以在复平面内对应的点的坐标为. 故选：B 3. 下列各式化简结果正确的是（　　） A. ＋＝ B. ＋＋＋＝ C. ＋－＝0 D. －－＝ 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则求解. 【详解】对A，＋，A错误； 对B，＋＋＋＝＋＋ ＝＋＝,B正确； 对C，＋－＝，C错误； 对D，－－＝－＝,D错误； 故选:B. 4. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解. 【详解】的展开式的通项