2024年中考数学二轮复习——对角互补且一组邻边相等的半角模型专项训练

2024年中考数学二轮复习——对角互补且一组邻边相等的半角模型 例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， 故①正确； ∵点P为BC的中点，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴AP＝CP，∠APC＝90°，∠BAP＝∠C＝45°， ∵∠EPF＝∠APC， ∴∠APE＝∠FPC， 在△AEP和△CFP中， ， ∴△AEP≌△CFP（ASA）， ∴PE＝PF， ∴△EPF是等腰直角三角形， ∴四边形AEPF的面积为S△AEP+S△AFP＝S△CPF+S△APF＝S△APCS△ABC， 故④正确，⑤不正确； ∵∠BAC＝∠EPF＝90°， ∴∠AFP和∠AEP互补， 故③正确； ∵PE不是定长，故②不正确． ∴正确的有：①③④， 故选：D． 例2．已知，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B＝∠ADC＝90°时． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明△ABE≌　 　；再证明了△AEF≌　 　，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系为 　 　． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC＝180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量关系为 　 　．（不用证明） （1）证明：如图1中，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG． ∵∠ADG＝∠ABC＝∠ADF＝90°，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠1＝∠2， ∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠EAF， ∵AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝EG， ∵FG＝FD+DG， ∴EF＝DF+BE， 故答案为：△ADG，△AEG，EF＝BE+FD； （2）解：上述结论依然成立． 证明：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°， ∴∠1＝∠D， 在△ABM与△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）． ∴AF＝AM，∠2＝∠3． ∵∠EAF∠BAD， ∴∠2+∠4＝∠3+∠4＝∠MAE， ∴∠MAE＝∠FAE， 在△AME与△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）． ∴EF＝ME． ∴EF＝ME＝BE+BM＝BE+DF； （3）解：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF， 在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF， ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD， ∴∠GAE＝∠EAF． ∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG， ∴EF＝BE﹣FD． 故答案为：EF＝BE﹣FD． 例3．（1）问题背景． 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　EF＝BE+DF　． （2）猜想论证． 如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明． （3）拓展应用． 如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45°，连接BC、AD，AB：AC：BC＝3：4：5，AD＝4，且∠ABD+∠CBD＝180°．则△ACD的面积为　 　． 解：延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADF+∠ADG＝180°，