精品解析：2023年清华大学强基计划数学测试题

2023年清华大学强基计划数学测试题 1. 已知，求的值． 2. 已知，求的值． 3. 已知，求的可能取值． 4 已知，且整除，则（ ） A. 所有的和为14.5 B. 所有的和为15.5 C. 可能4组取值 D. 可能5组取值 5. 已知2023可以拆分为几个正整数之和，所有整数中的最大值和最小值相差不超过1有多少种可能（ ） A 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 6. 已知恰有两个零点，求的取值范围． 7. 已知的虚部可能为（ ） A. B. C. 1 D. 0 8. 已知，求． 9. 已知是完全平方数，则（ ） A. 取值有无数个 B. 的最小值小于15 C. 为奇数 D. 10. 已知，过点的直线交抛物线于两点，过两点作抛物线的切线交与点P，求的最小值和P的轨迹． 11. 设正数满足，求的最小值． 12. 得分去掉一个最高分30，一个最低分0，剩下个得分平均数为10，方差为1，则求不去掉时的平均分和方差分别为多少？ 2023年清华大学强基计划测试数学试题 备注：考试时间2023年6月28日，数学总共35道不定项选择题，共100分，以下为部分回忆试题 13. 有六面旗，两面蓝，两面红，两面黄，除颜色外完全相同，从这些旗子中去除若干面（至少一面），从上到下悬挂在同一个旗杆上，可以组成一个信号序列，则不同信号序列共有多少种？ 14. 已知对任意恒有解，求的最小值． 15. 11个黑球，9个红球，依次取出，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率？ 16. 三个复数的模分别为，且这三个复数实部虚部均为整数，则这三个复数的积有多少个可能值？ 17. 椭圆为左焦点，为椭圆上两点且，求直线的斜率的范围． 18. 数列满足，求使该数列有极限的的最大值． 19. 有几个正实数解？ 20. 复数，则以下正确的是（ ） A. （之类） B. （之类） C. （之类） D. （之类） 21. 已知点，过点的直线上有一个动点，则的最小值为_________． 22. 两个人甲和乙，数字为2～30之间的共29个自然数，现找出两个不同的数，把其和告诉甲，把其积告诉乙．甲说：“虽然我不知道是哪两个数，但是肯定乙也不知道”，再问乙，乙说：“本来我不知道，但是听到甲说这句话，现在我知道了”甲听到乙说他知道了，然后就说：“现在我也知道了”，那么这两个数是多少呢？ 23. 都为质数，整除整除，有多少组和． 24. 正整数满足：，则的可能值有（ ） A. 0个 B. 3个 C. 4个 D. 无穷多个 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年清华大学强基计划数学测试题 1. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知 此时 2. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】设，则可用表示，利用放缩法和换元法可求模的最小值. 【详解】解：设， 此时 又 于是 令， 此时， 当时，； 当时，，当且仅当等号成立， 故 ，当时，等号成立， 所以. 【点睛】思路点睛：复数中模的最值的计算，可以借助复数的三角形式进行转化，注意在模的范围的讨论中，可结合多变量代数式的特征合理放缩. 3. 已知，求的可能取值． 【答案】10或 【解析】 【详解】解：由题意可知① 同理可得② ①+②可得 则或 4. 已知，且整除，则（ ） A. 所有的和为14.5 B. 所有的和为15.5 C. 可能4组取值 D. 可能5组取值 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可知 整理可得 则 情形一：当时，此时 情形二：当时，此时 情形三：当时，此时 于是，的可能值的和为15.5 故正确答案选B 5. 已知2023可以拆分为几个正整数之和，所有整数中的最大值和最小值相差不超过1有多少种可能（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 【答案】B 【解析】 【分析】就是否整除2023分类讨论，每一种情况均可以利用调整法来处理，故可得正确的选项. 【详解】解：假设2023可以拆分成个正整数之和，现在分两类讨论： 情形一：当整除2023时，此时只有一种分拆，即这个数每一个都是， 原因如下：如果把其中一个数拿出一个，这个必定会放进某些中， 至少使得某个数大于等于，此时这两个数之差为， 不满足题意； 情形二：当无法整除2023时，设. 此时也只有一种分拆，即个，个， 原因如下：（1）当在个各拿一个1时， 为了满足所有整数中的最大值和最小值相差不超过1只能将这这个数均分成个1使得个变成， 此时还是个，个 （2）当在个中拿出个1时， 此时一定有某两个数之差出现，不满足题意 综上所述：可以取遍1到2023之间的所有整数，即共有2023种可能， 故选：B 6