专题9.1 旋转与几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题9.1 旋转与几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 典例分析 【典例1】如图，在中，，点D为中点，连接，点M是直线上一点，连接．    （1）如图1，当点M和点D重合时，将线段绕点B逆时针旋转至，过点B作交于点E，连接、、．若，，求的长； （2）如图2，当点M在线段上，且时，将线段绕点B逆时针旋转至，连接交于点F，交于点G，连接交于点H，若，求证：； （3）如图3，将线段绕点B逆时针旋转至，连接，在线段上取一点P，使．若，，请直接写出的最小值． 【思路点拨】 （1）可求，可证，可求，由，即可求解； （2）方法一：连接，可证，可得，，再证，可得，即可求证；方法二：连接， 可证，，从而可得，，可证，即可求证；方法三：如图，延长至，使，可得，，可证，从而可得，， ，再证，即可求解． （3）作于，可求；，所在直线为点的轨迹，与夹角，可证，可得，连接， 可得，当、、三点共线时，最小，此时，连接，作于，可求，由即可求解． 【解题过程】 （1）解： ，是中点，， ， ，， ， ， 由旋转得：，， ， ， 在中，， 在，． （2）证明：方法一：如图，连接，    ，D为中点 ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴（）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ． 方法二：如图，连接，    ， ，， 垂直平分 点在上， ∴， ， 由方法一得，同理可证（）， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ． 方法三：如图，延长至，使，    由方法一得：， ，， ， ， ， ， 即， 在和中 ， （）， ，， ， ， 在和中 （）， ． （3）解：如图，作于    ， ，， ， ， ， ； 如图，所在直线为点的轨迹，与夹角，    构造，且 连接， ， 在和中 ， （）， ， 连接， 由（1）得同理可证：， ， 当、、三点共线时，最小，此时 如图，连接，作于，    ， 由题可知，， ， ， ． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点为锐角三角形内任意一点，连接，，．以为一边向外作等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接．    （1）求证：； （2）如图2，三个内角均小于，在其的内部有一动点，连接，，，若，，，求的最小值； （3）在第（2）问的条件下，当的值最小时，求此时，的度数． 2．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）在等边中，将线段绕点旋转，得到线段，连接、． （1）如图1，将线段绕点C逆时针旋转，则的度数为 ； （2）将线段绕点顺时针旋转时，得到线段，连接、． ①在图2中依题意补全图形，并求的度数； ②若的平分线交于点，交的延长线于点，连结．则与之间存在怎样的等量关系，并证明． 3．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．    （1）如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转60°到处，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 °． （2）请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图3，中，，E、F为边上的点，且，判断、、之间的数量关系并注明； ②如图4，在中，，在内部有一点P，连接、、，求的最小值． 4．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）【操作发现】如图1，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点D．在三角板另一直角边上取一点F，使，线段上取点E，使，连接，． （1）直接写出______°； （2）与相等吗？请说明理由； 【类比探究】如图2，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）．旋转后三角板的一直角边与交于点D．在三角板斜边上取一点F，使，线段上取点E，使，连接，． （3）请求出的度数； （4）若，求线段的长