专题06 解直角三角形的应用（仰角俯角、坡度、方位角等问题）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题06 解直角三角形的应用 目录 热点题型归纳 1 题型01 仰角与俯角问题 1 题型02 坡度问题 4 题型03 方位角问题 6 中考练场 9 题型01 仰角与俯角问题 【解题策略】 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． 【典例分析】 例．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）    【变式演练】 1．（2024·山西朔州·一模）山西“应县木塔”，又名山西“应县佛宫寺释迦塔”，它是当今世界上的第一奇塔．它不仅是中国，而且是世界上现存最古老、最高峻的木构建筑物，所以它在世界建筑中占有突出的地位．已知“应县木塔”的高度为米，塔前“女神雕像”的高度为米，木塔与雕像之间有障碍物，不能直接测量，某测量小组为了测量“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离，采用了如下测量方案（如图所示）： ①他们在“木塔”和“雕像”之间选择一观景平台，测得“木塔”顶部的仰角为，测得“雕像”顶部的仰角为； ②测得测角仪的高度为1.3米； ③测得点在同一条直线上，，垂足分别是． 求“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离．（结果精确到米，参考数据：） 2．（2024·陕西西安·一模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小港为测量小雁塔的高度、制定了如下测量方案：如图所示，当小港站在点A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为、小港的身高忽略不计，请根据题目信息，求出小雁塔的高度．（参考数据：，结果精确到） 3．（2024·西藏拉萨·一模）如图，学校的教学楼对面是一幢办公楼，教学楼与办公楼的水平距离，卓玛在教学楼顶部A处测得办公楼顶部D处的俯角，测得办公楼底部C处俯角，求办公楼高CD（结果保留根号） 4．（2023·海南三亚·二模）某中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行60米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为，线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上，其中，米． (1)填空： 度， 度； (2)求无人机的飞行高度； (3)求河流的宽度．（结果保留根号） 题型02 坡度问题 【解题策略】 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. 【典例分析】 例．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）    【变式演练】 1．（2023·安徽·模拟）如图，一栋楼房后有一个小山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，楼房在小山坡上的影长为25米，测得坡脚与楼房的水平距离米，求楼房的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 2．（2023·甘肃天水·模拟预测）如图，在葫芦河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．      (1)求的值． (2)求楼的高度． 3．（2023·河南濮阳·三模）如图，李东在延时课上利用所学的数学知识测量校园内教学楼CD的高度，在教学楼前方有一斜坡，坡长，坡比，李东在A点处测得楼顶端C的仰角为，在B点处测得楼顶端C的仰角为（点A，B，C，D在同一平面内）．求教学楼的高度（结果精确到，参考数据：） 4．（2024·上海普陀·一模）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：    第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 题型03 方位角问题 【解题策略】 方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的