专题05 圆的证明与计算（隐圆模型，与圆有关的相似、全等和计算等问题）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题05 圆的证明与计算 目录 热点题型归纳 1 题型01 隐圆模型 1 题型02 圆与相似 11 题型03 圆与全等 20 题型04 圆的计算 27 中考练场 38 题型01 隐圆模型 【解题策略】 定点定长的隐圆 定弦定角的隐圆 对角互补的隐圆 点 A 为定点，点 B 为动点，且 AB 长度固定则点 B 的轨迹是以点 A 为圆心，AB 长为半径的圆。 若线段 AB 的长度及其所对的∠ACB 的大小不变，则点 C的运动轨迹是以AB 为弦的圆。 若四边形ABCD对角互补 则A、B、C、D 四点共圆。 【典例分析】 例1．（2023·浙江·中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（    ）    A． B． C．2 D．1 例2．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 【变式演练】 1．（23-24九年级上·湖北武汉·模拟训练）如图，已知等边的边长为10，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点．当时，在直线l变化过程中，则面积的最大值为 ． 2．（2022·湖北武汉·三模）在中，，，点为上一动点，，则的最小值是 ．    3．（2023·陕西咸阳·一模）如图，在中，，点P在内运动，连接，若，则的最大值为 ．    4．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为 ．    题型02 圆与相似 【解题策略】 对于圆与相似相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形 【典例分析】 例．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，求的值． 【变式演练】 1．（2023·湖南湘西·二模）如图，是的直径，点，在上，平分，交于点，连接．    (1)求证：． (2)当，且时，求线段的长． (3)点为线段上一点，且平分，若，，求的长． 2．（2024·陕西西安·一模）如图，是的直径，点在直径上（与不重合），且，连接，与交于点，在上取一点，使与相切． (1)求证：； (2)若是的中点，，求的长． 题型03 圆与全等 【解题策略】 对于圆与全等相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形 【典例分析】 例．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式演练】 1．（2023·广东汕头·一模）如图，内接于．是直径，过点作直线，且是的切线． (1)求证：． (2)设是弧的中点，连接交于点，过点作于点，交于点． ①求证：． ②若，，试求的长． 2．（2022·安徽·模拟预测）如图，中两条弦，互相垂直，垂足为，为的中点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)连接，求的值． 题型04 圆的计算 【解题策略】 对于圆的计算的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形 【典例分析】 例．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【变式演练】 1．（2023·天津河东·一模）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，为的直径， 点 D为上一点， 过点 B作切线交延长线于点 C，平分，交于F． (1)求证：； (2)若半径为2，，求的长度． 3．（2024·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦与交于点F，过点A的切线交的延长线于点D，点B是的中点． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，的反向延长线交于点． (1)求证：； (2)若，的半径为10，求的长度． 1．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角