难点05 相似三角形综合（与三角形综合，与四边形综合）-2024年中考数学【热点•重点•难点】专练（四川成都专用）

难点05 相似三角形综合 相似三角形综合是四川成都中考数学的必考考点，常见以B卷解答题压轴题的形式，主要是考查三角形、四边形与圆等几何性质问题，以相似三角形为核心，一般出现在中考的B26题，以难度大为主，知识点比较综合，平时多练习总结思路。 【题型一 定值问题】 满分技巧 考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 【例1】（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．    【初步感知】 (1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 (2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】 (3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 【变式1-1】（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． 概念理解： ①在互补四边形中，与是一组对角，若则 _ ②如图1，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形． 探究发现：如图2，在等腰中，点分别在边上， 四边形是互补四边形，求证：． 推广运用：如图3，在中，点分别在边上，四边形是互补四边形，若，求的值． 【变式1-2】（2022·四川成都·统考二模）在中，，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求的值； (3)连接，是否存在点，使，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（2022·四川成都·四川省成都市第七中学初中学校校考一模）如图 (1)如图1，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求CM的长． (2)如图2，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为M，求的值． (3)如图3，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B＇处，折痕为CM． i）求线段AC的长； ⅱ）若点O是边AC的中点，点P为线段OB＇上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A＇PM，点A的对应点为点A＇，A＇M与CP交于点F，求的取值范围． 【题型2 相似与四边形综合】 满分技巧 矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是通过菱形的性质和三角形的内角和定理得到∠EBC=∠EDF，从而得到相似三角形或全等三角形，难度较大，需要学生学会利用前面所学的知识解答后面的题目，具有很强的综合性，是中考常考题型． 【例2】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点． (1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． (2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值． (3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）． 【变式2-1】（2022·四川成都·校考三模）在矩形中，点E为射线上一动点，连接． (1)当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，当，且时，求的长． (2)在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，，D三点共线时，求的长． 【变式2-2】（2022·四川成都·模拟预测）【探究发现】 (1)如图①．已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合）．连接BE，作点D关于直线BE的对称点D′，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D′E． ①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF ，并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G． ②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF的度数为______． 【类比迁移】 (2)如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于直线BE的对称点D′，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接B D′，CD′，D′E．当CD′⊥DF，AB