难点04 二次函数与几何综合（定值、定点）-2024年中考数学【热点•重点•难点】专练（四川成都专用）

难点04 二次函数与几何综合 二次函数与几何综合是四川成都中考数学的必考考点，常见以B卷解答题压轴题的形式，主要是考查反比例函数图像与性质问题，与三角形、四边形综合，相似三角形等，一般出现在中考的B25题，以难度大为主，知识点比较综合，平时多练习总结思路。 【题型一 定值问题】 满分技巧 二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键． 【例1】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； (3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2023·四川成都·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其顶点为．直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．      (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)当线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分时，求的值； (3)连接，，试探究的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式1-2】（2023·四川成都·二模）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点D坐标； (3)如图，直线分别与y交于点E，F，则是否为定值？若是，求出这个定值，请说明理由． 【变式1-3】（2023·四川成都·统考二模）如图1，已知一次函数的图象与y轴，x轴相交于点A，B，抛物线与y轴交于点C，顶点M在直线上，设点M横坐标为m． (1)如图2，当时，求此时抛物线的函数表达式； (2)求当m为何值时，点C的纵坐标最大； (3)如图3，当时，此时的抛物线与直线相交于D，E两点，连接，并延长，分别与x轴交于P，Q两点．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【题型2 定点问题】 满分技巧 考查了抛物线与一次函数的交点问题，待定系数法，一元二次方程根与系数关系定理，对称性，熟练掌握抛物线与一次函数的交点，及其根与系数关系定理是解题的关键． 【例2】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为． (1)当时，求，两点的坐标； (2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值； (3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【变式2-1】（2023·四川成都·统考二模）【学习与思考】类比圆的切线，抛物线的切线是指过抛物线上一点的直线，这条直线不与x轴垂直并且与抛物线只有一个公共点．比如在平面直角坐标系中，抛物线上的点，过点P的切线可写作：，代入，，得到，所以，与联立，得到，因为只有一个公共点，所以，得到，所以经过点P的切线为． 【理解与应用】在平面直角坐标系中，抛物线． (1)点在抛物线上，设过点A的切线为l． ①若，求l的表达式； ②设l与y轴交于点B，过点A作轴于点C，求证：四边形为平行四边形； (2)动点D，E在该抛物线上，分别过点D，E作抛物线切线，，设，交于点F．若点F始终在直线上，试说明直线经过定点，并求出该定点坐标． 【变式2-2】（2023·四川成都·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，（点位于点左侧），与轴交于点． (1)求与之间的关系，并求出点的坐标（用含的代数式表示）； (2)若以，，为顶点的三角形是直角三角形，求的值； (3)在（2）的条件下，过点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于不同的两点，（点位于点主侧），探究直线是否过定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【变式2-3】（2022·四川成都·模拟预测）图，直线图象交轴于点，交轴于点，点，点在抛物线的图象上．点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线和直线于点，两点． (1)求抛物线的函数关系式： (2)当恰好是以为斜边的直角三角形时，求此时点的坐标； (3)轴上方的对称轴上有一动点，平面上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)在（2）的条件下，将线段绕着点逆时针旋转一定的角度，得到线段．试探究线段上是否存在一个定点（不与、重合），无论如何旋转，的值始终保持不变．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由